Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 + 1 2 x 2 x 4

Passo 1

Devemos calcularmos o limite usando, se for possível a regra de L’Hospital. Só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / . Eu sei que é tentador sempre usar a regra de L’Hospital, só uma dica que eu dou: se for mais fácil calcular o limite de outra forma, use a outra forma....

Passo 2

Devemos primeiro verificar se o limite é indeterminado, susbituindo x por 0 temos que

cos ⁡ x - 1 + 1 2 x 2 x 4 →   1 - 1 + 0 0 = 0 0

Assim , o limite é indeterminado do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 + 1 2 x 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ - s e n   x + x 4 x 3

Trocando x por 0 temos que

- s e n   x + x 4 x 3 →   - 0 + 0 0 = 0 0

Passo 4

Como temos uma indeterminação 0/0, vamos derivar o numerador e o denominador novamente:

lim x → 0 ⁡ - s e n   x + x 4 x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 12 x 2

Trocando x por 0 temos que

1 - cos ⁡ x 12 x 2 →   1 - 1 0 = 0 0

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra novamente:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 12 x 2 = lim x → 0 ⁡ s e n   x 24 x = 1 24 lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1 24

Usei que

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Assim,

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 + 1 2 x 2 x 4 = 1 24

Resposta

1 / 24 .

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