Enunciado

Encontre d y / d x e d ² y / d x ² . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t - l n t

y = t + ln ⁡ t    

Passo 1

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x * d t d t   → d y d t * d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Vou ajustar um pouquinho pra deixar uma coisa evidente

d d x y = d d t y d x d t

Se queremos a primeira derivada de y, então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando : ). Vamos calcular primeiro a primeira derivada.

Passo 2

x = t - l n t

y = t + ln ⁡ t    

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t + ln ⁡ t     d d t t - ln ⁡ t  

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= 1 + 1 t   1 - 1 t

Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mas pratico para derivar mais uma vez.

= t + 1 t - 1

Agora sim, está bem mais fácil manipular.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

= d d t t + 1 t - 1 d d t t - ln ⁡ t  

= t - 1 - ( t + 1 ) ( t - 1 ) ² 1 - 1 t

= - 2 ( t - 1 ) ² t - 1 t

=   - t ( t - 1 ) ³

Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Logo

- t ( t - 1 ) ³ > 0

=   t ( t - 1 ) ³ < 0  

Aqui só temos que ter cuidado com o denominador ele tem que ser diferente de zero

t - 1   ≠ 0

t ≠ 1

Tendo isso em mente, nossa resposta se da quando

t < 0

Belezinha. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução. : )

Resposta

t < 0   ,     t ≠ 1

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