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Uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é y = 2 - x . Se em qualquer ponto x , y da curva d 2 y d x 2 = 1 - x 2 , ache a equação da curva.

Passo 1

Beleza gente, vamos por partes nesse negócio, sem pânico mesmo! Primeiro, temos que a nossa derivada segunda em qualquer ponto da curva é igual a 6 x , isso quer dizer que para qualquer ponto, isso é a derivada da reta tangente. Logo:

d 2 y d x 2 = d ' y d x

d ' y d x = 1 - x 2

y ' = ∫ ( 1 - x 2 ) d x

y ' = x - x 3 3 + C 1

Passo 2

Temos nosso y’, então voltemos para a nossa equação original e posteriormente aplicamos ao ponto desejado da reta tangente.

d y d x = x - x 3 3 + C 1

y = ∫ x - x 3 3 + C 1 d x

y = C 1 x + C 2 - x 4 12 + x 2 2

Primeiro apliquemos nossa função na constante para achar C 1

d y d x = 2 - x

y = ∫ 2 - x d x

y = 2 x - x 2 2 + C 1

Para o nosso ponto (1,1), temos que:

1 = 2 - 1 2 + C 1

C 1 = - 1 2

Passo 3

Agora a gente volta pra aquela nossa equação que envolvia C 1 e C 2 .

y = C 1 x + C 2 - x 4 12 + x 2 2

1 = - 1 2 + C 2 - 1 12 + 1 2

C 2 = 13 12

Logo, nossa equação fica igual a:

y = - 1 2 x + 13 12 - x 4 12 + x 2 2

12 y = - 6 x + 13 - x 4 + 6 x 2

Resposta

12 y = - 6 x + 13 - x 4 + 6 x 2

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