Enunciado

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2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

j) ∫ 0 1 ∫ 0 y x + y d x   d y

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0 ≤ x ≤ y 0 ≤ y ≤ 1

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a x . Trate y como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a x .

∫ 0 y x + y d x =

2 3 x + y 3 2 0 y = 2 3 2 y 3 2 - 2 3 y 3 2

Passo 3

Agora vamos integrar em função de y , levando em conta o valor obtido na integral de x . Assim temos:

∫ 0 1 2 3 ( 2 y ) 3 2 - y 3 2   d y =

2 3 ( 2 3 2 ⋅ y 5 2 5 2 - y 5 / 2 5 / 2 0 1 =

= 2 3 2 3 2 ⋅ 2 5 - 2 5 =

4 15 2 2 - 1

Resposta

4 15 2 2 - 1

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