Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 1 + 2 cos 2 theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente vamos calcular valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = 1 + 2 cos 2 theta

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 1 + 2 cos ( 2 * 0 ) = 1 + 2 = 3

r ((pi)/(2)) = 1 + 2 cos (2 * (pi)/(2)) = 1 + 2 cos pi = 1 - 2 = - 1

r (pi) = 1 + 2 cos 2 pi = 1 + 2 = 3

r ((3 pi)/(2)) = 1 + 2 cos (2 * (3 pi)/(2)) = 1 + 2 cos 3 pi = 1 - 2 = - 1

r (2 pi) = 1 + 2 cos ( 2 * 2 pi ) = 1 + 2 cos 4 pi = 1 + 2 = 3

Passo 3

Agora vamos analisar o comportamento da função r entre esses valores. Como temos uma soma em r (theta) = 1 + 2 cos 2 theta vamos analisar primeiramente o cos 2 theta e depois a função por completo.

No primeiro quadrante o argumento do cosseno vai variar de 0 a pi por conta do 2 multiplicando dentro do cosseno, nesse intervalo o valor do cosseno vai de 1 pra 0 e depois pra - 1 . A função então vai começar em 3 e vai descer até - 1 .

No segundo quadrante o argumento varia de pi a 2 pi , e o valor do cosseno vai de de - 1 pra 0 e depois pra 1 . Neste intervalo a função vai de - 1 até 3 .

No terceiro quadrante a função se comporta como no primeiro e no quarto se comporta como o segundo, porque o argumento do cosseno vai de 2 pi até 4 pi , e ele se comporta da mesma maneira que de 0 a 2 pi .

No plano, se considerarmos valores negativos de r como uma distancia no sentido oposto, ficamos com algo assim:

Se desconsiderarmos os valores negativos, temos um gráfico assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = 1 θ
Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = s e nθ 4
Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = 1 + 4 cos ⁡ 5 θ
Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = s e nθ 2
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 + 3 c o s θ