Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 1 + 2 cos ((theta)/(2))

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente vamos calcular valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = 1 + 2 cos ((theta)/(2))

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 1 + 2 cos ((0)/(2)) = 1 + 2 = 3

r ((pi)/(2)) = 1 + 2 cos ((pi)/(4)) = 1 + 2 * (sqrt(2))/(2) = 1 + sqrt(2)

r (pi) = 1 + 2 cos ((pi)/(2)) = 1

r ((3 pi)/(2)) = 1 + 2 cos ((3 pi)/(4)) = 1 + 2 * (- (sqrt(2))/(2)) = 1 - sqrt(2)

r (2 pi) = 1 + 2 cos (pi) = 1 + 2 (- 1) = 1 - 2 = - 1

Passo 3

A função vai começar em 3 no primeiro quadrante e vai diminuir até chegar em 0 no ângulo (4 pi)/(3) , ou 240 ° :

r ((4 pi)/(3)) = 1 + 2 cos ((2 pi)/(3)) = 1 + 2 * (- (1)/(2)) = 1 - 1 = 0

Após esse ângulo a função começa a assumir valores negativos até chegar a - 1 em 2 pi .

Se considerarmos só os valores positivos de r , ficaremos com o seguinte gráfico:

Se aceitarmos valores negativos como uma distancia no sentido oposto temos:

Ainda se não nos limitarmos ao theta até 2 pi , com theta in [ 0,4 pi ] :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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