Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = sen theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Para construirmos esse gráfico, poderíamos pegar diferentes ângulos e calcular o r para cada um e estimar como seria nosso gráfico.

Outra maneira de construí-lo é mudar para coordenadas cartesianas e então jogar no plano.

Passo 2

Utilizando o segundo método, vamos transformar essa equação em uma equação cartesiana.

r = sen theta

Sabemos que y = r * sen theta , isolando o y ficamos com

sen theta = (y)/(r)

Substituindo na nossa equação temos que

r = (y)/(r)

Multiplicando ambos os lados por r ficamos com

r^2 = (y)/(r) * r

r^2 = y

Outra relação importante é que x^2 + y^2 = r^2 , substituindo temos

x^2 + y^2 = y

Passo 3

E essa é uma fórmula de circunferência com o centro deslocado, para descobrirmos o centro, precisaremos completar quadrado nos termos que tem y , passando todos os termos para o lado direito

x^2 + overset(⏜)(y^2 - y) = 0

Para completar quadrado precisamos transformar a parte destacada em um produto de soma ou de subtração, mas sem alterar a equação, como temos uma subtração vamos usar o quadrado de uma subtração genérica.

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

Onde a = y e b nós vamos ter que achar.

Para que y^2 - y se torne um quadrado perfeito precisaremos que este quadrado venha com uma constante somando de forma que não altere a equação

(y - b)^2 + c = y^2 - y

Sabemos que (y - b)^2 = y^2 - 2 y b + b^2 , então substituindo temos

y^2 - 2 y b + b^2 + c = y^2 - y

Pela igualdade de polinômios, montamos o sistema:

- 2 y b = - y => b = (1)/(2)

b^2 + c = 0 => c = - b^2 => c = - (1)/(4)

Portanto temos que

y^2 - y = (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4)

Substituindo na nossa equação

x^2 + (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4) = 0

Somando (1)/(4) dos dois lados

x^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(4)

Passo 4

Essa é a fórmula de uma circurferência de raio r = (1)/(2) centrada no ponto (0 , (1)/(2)) .

No plano:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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