Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.

  1. x = 1 + raiz(t), y = t^2 - 4t, 0 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente esboce a curva dada pelas equações paramétricas abaixo, indicando com setas a direção na qual t aumenta:

x = 1 + t ,       y = t 2 - 4 t ,           0 ≤ t ≤ 5

Bom, para fazer isso, vamos criar uma tabelinha de valores, calculando alguns pontos-chave no intervalo 0 ≤ t ≤ 5 e, em seguida, traçar a curva indicando sua direção.

Passo 2

Vamos começar calculando as coordenadas x ,   y para valores inteiros de t no intervalo 0 ,   5 :

Então, o ponto inicial da curva é ( 1 ,   0 ) (para t = 0 ) e o ponto final é ( ≈ 3,24 ;   5 ) (para t = 5 ).

Passo 3

Para ter uma ideia mais clara do formato, podemos tentar eliminar o parâmetro t . Assim, de x = 1 + t , isolamos t :

t = x - 1

Como x = 1 + t e t ≥ 0 , o domínio de x é x ≥ 1 .

Então, elevamos ao quadrado para encontrar t :

t = x   -   1 2

(Isso só é válido no domínio x ≥ 1 ).

E substituímos t na equação de y :

y = x - 1 4 - 4 x - 1 2

Esta é a equação de uma parábola de grau 4 em relação a ( x - 1 ) .

Passo 4

A direção vai ser determinada pelo aumento de x e y conforme t aumenta.

Pra analisar o movimento em x , olhamos pra equação x = 1 + t . Como t sempre aumenta com t , o valor de x sempre aumenta de 1 a aproximadamente 3,24 . Então, a curva se move sempre para a direita.

O movimento em y é analisado por y = t 2 - 4 t . Esta é uma parábola com vértice em t = - - 4 2 ⋅ 1 = 2 . Então,

  • Para 0 ≤ t ≤ 2 , y diminui (de 0 a - 4 )
  • Para 2 ≤ t ≤ 5 , y aumenta (de - 4 para 5 ).

O ponto mais baixo da curva (mínimo de y ) ocorre em t = 2 , no ponto ( ≈ 2,41 ;   - 4 ) .

Passo 5

Então, a gente já sabe que o esboço da curva parte do ponto ( 1 ,   0 ) , desce até o ponto ( ≈ 2,41 ;   - 4 ) e, em seguida, sobe até o ponto ( ≈ 3,24 ;   5 ) .

Assim, nosso gráfico vai ficar:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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