Enunciado

Escreva a equação em coordenadas esféricas.

(a) z 2 = x 2 + y 2

(b) x 2 + z 2 = 9

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para encontrarmos os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Desta forma fica fácil, né? Vamos começar pela letra a:

(a)

z 2 = x 2 + y 2 ↔ ρ cos ⁡ ϕ 2 = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ ϕ 2 = ρ ² sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + ρ ² sen ² ⁡ ϕ sen ² ⁡ θ

ρ cos ⁡ ϕ 2 = ( ρ ² sen ² ⁡ ϕ ) ( cos ² ⁡ θ + sen ² ⁡ θ )

z 2 = x 2 + y 2 ↔ ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ ↔ tg 2 ⁡ ϕ = 1

Passo 2

(b)

x 2 + z 2 = 9 ↔ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2 = 9

ρ ² sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + ρ ² cos ² ⁡ ϕ = 9

ρ ² ( sen ² ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ ) = 9

Resposta

(a) tg 2 ⁡ ϕ = 1

(b) ρ ² ( sen ² ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ ) = 9

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