Enunciado

Nos exercícios 105 e 106, use o segundo teorema fundamental do cálculo para calcular a integral definida. Então, encontre o valor de X que satisfaça o teorema do valor médio para integrais.

105. ∫ 0 3 x 2 + 1 d x   .

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para utilizarmos dois teoremas importantes quando o assunto é cálculo : teorema fundamental do cálculo e o teorema do valor médio para integrais. Quando ele fala em utilizar o segundo teorema fundamental do cálculo, é nada mais nada menos que resolver a integral definida como de costume. O que o teorema do valor médio para integrais nos diz é que existe um número X num intervalor fechado [a,b] tal que f X = 1 b - a . ∫ a b f x d x   .

Passo 2

Utilizando o segundo teorema fundamental do cálculo, vem :

∫ 0 3 x 2 + 1 d x   = x 3 3 + x 0 3 = 3 3 3 + 3 - 0 = 12

Passo 3

Utilizando o valor encontrado acima para achar quem é X , vem:

f X . 3 - 0 = 12    

I s t o   é   ,  

X 2 + 1 = 4

X = ± 3    

Rejeitamos - 3 , pois não está no intervalo [0,3], e temos

∫ 0 3 x 2 + 1 d x   = f 3 . 3 - 0

Resposta

∫ 0 3 x 2 + 1 d x   = 12

X = 3    

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