Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 6.11 - Ex. 34

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desse livro

Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.

∫ 0 - 1 x 3 + 8 x + 2 d x

Passo 1

Antes de começarmos a resolver esta integral, vamos inverter os limites de integração. Com isto, temos:

∫ 0 - 1 x 3 + 8 x + 2 d x = - ∫ - 1 0 x 3 + 8 x + 2 d x

Agora, vejam que temos uma divisão de polinômios, e que o grau do numerador é maior que o do denominador. Com isto, não podemos utilizar a técnica de frações parciais.

Mas calma lá, percebam um pequeno detalhe:

x 3 + 8 = x + 2 ⋅ x 2 - 2 x + 4

Eita! Podemos fatorar o numerador, e com isto, aparecerá um termo igual ao do denominador. Sendo assim, a nossa integral se transforma em:

- ∫ - 1 0 x 3 + 8 x + 2 d x = - ∫ - 1 0 x + 2 ⋅ x 2 - 2 x + 4 x + 2 d x = - ∫ - 1 0 x 2 - 2 x + 4 d x

E agora, podemos integrar facilmente!

Passo 2

Agora que conseguimos reescrever a integral, só nos basta calcula-la. Desta forma, temos:

- ∫ - 1 0 x 2 - 2 x + 4 d x

- x 3 3 - x 2 + 4 x - 1 0

- 0 - - 1 3 - 1 - 4 = - 16 3

Resposta

∫ 0 - 1 x 3 + 8 x + 2 d x = - 16 3

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