Enunciado

Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.

int_0^(- 1) (x^3 + 8)/(x + 2) d x

Passo 1

Antes de começarmos a resolver esta integral, vamos inverter os limites de integração. Com isto, temos:

int_0^(- 1) (x^3 + 8)/(x + 2) d x = - int_(- 1)^0 (x^3 + 8)/(x + 2) d x

Agora, vejam que temos uma divisão de polinômios, e que o grau do numerador é maior que o do denominador. Com isto, não podemos utilizar a técnica de frações parciais.

Mas calma lá, percebam um pequeno detalhe:

x^3 + 8 = (x + 2) * (x^2 - 2 x + 4)

Eita! Podemos fatorar o numerador, e com isto, aparecerá um termo igual ao do denominador. Sendo assim, a nossa integral se transforma em:

- int_(- 1)^0 (x^3 + 8)/(x + 2) d x = - int_(- 1)^0 ((x + 2) * (x^2 - 2 x + 4))/(x + 2) d x = - int_(- 1)^0 (x^2 - 2 x + 4) d x

E agora, podemos integrar facilmente!

Passo 2

Agora que conseguimos reescrever a integral, só nos basta calcula-la. Desta forma, temos:

- int_(- 1)^0 (x^2 - 2 x + 4) d x

- ((x^3)/(3) - x^2 + 4 x)_(- 1)^0

- ([0] - [- (1)/(3) - 1 - 4]) = - (16)/(3)

Resposta

int_0^(- 1) (x^3 + 8)/(x + 2) d x = - (16)/(3)

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