Enunciado

Nos exercícios de 9 a 12, ache a área da região limitada por um laço do gráfico da equação dada.

11. r = 1 + 3 s e n θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como ele quer a área de um laço somente, basta fazer θ variar de - π 2   a t é   b ; e por ser simétrico em relação ao semi-eixo π 2 , basta multiplicar por 2 para encontrar o valor da área de um laço.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ - π 2 b 1 + 3 s e n θ 2 d θ ) = ∫ - π 2 b ( 1 + 6 s e n θ + 9 s e n 2 θ ) d θ =

∫ 0 b 11 2 + 6 s e n θ - 9 2 c o s 2 θ d θ = 11 2 θ - 6 c o s θ - 9 4 s e n 2 θ - π 2 b

= 11 2 s e n - 1 - 1 3 - 6 2 3 2 - 9 2 2 - 1 3 2 2 3 + 11 π 4 = 11 π 4 - 11 2 s e n - 1 1 3 - 3 2

Resposta

A = 11 π 4 - 11 2 s e n - 1 1 3 - 3 2

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