Enunciado

A função posição de uma partícula é dada por

s = t 3 - 4,5 t 2 - 7 t   ,   t ≥ 0

  1. Quando a partícula atinge a velocidade de 5 m / s ?
  2. Quando a aceleração é 0? Qual é o significado deste valor de t ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

s = t 3 - 4,5 t 2 - 7 t

Onde s é a posição em função do tempo t .

Queremos calcular o tempo em que a partícula atinge a velocidade de 5 m / s e quando a aceleração é zero.

Para isso, temos que saber que a velocidade v é a derivada temporal da posição s , ou seja:

v = d s d t

E, por sua vez, a aceleração a é a derivada temporal da velocidade v , ou seja:

a = d v d t

Agora já podemos resolver!! 😉

Passo 2

  1. Primeiro, encontraremos uma expressão para a velocidade e a igualaremos ao valor de 5 m / s .
  2. Derivando a equação da posição, temos:

    v t = s ' = 3 t 2 - 9 t - 7

    Fazendo v t = 5 , temos:

    3 t 2 - 9 t - 7 = 5 ∴

    3 t 2 - 9 t - 12 = 0

    Calculando as raízes, temos:

    ∆ = 9 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 12 = 225 = ± 15

    t = 9 ± 15 6

    Então:

    t = 4 s   o u   t = - 1 s

    Mas, pelo enunciado, temos que:

    t ≥ 0  

    Logo:

    t = 4 s

    Passo 3

  3. De forma análoga, derivando a expressão da velocidade, encontramos:

a t = v ' t = 6 t - 9

Então, para encontramos o tempo em que a = 0 , temos:

6 t - 9 = 0 ∴

6 t = 9 ∴

t = 9 6 = 1,5 s

Podemos concluir que neste ponto ( t = 1,5 s ) a aceleração muda de um valor negativo para um valor positivo.

Se pensarmos na função aceleração como a derivada da função velocidade, então, podemos concluir que no ponto t = 1,5 s a velocidade apresenta seu valor mínimo.

Resposta

  1. t = 4 s
  2. t = 1 , 5 s
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