Enunciado

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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

l) f x , y = x 3 y x 2 + y 2 ,     ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 )             0 ,           x ,   y = ( 0 ,   0 )  

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de f em relação a x e y :

∂ f ∂ x = y ( x 4 + 3 x 2 y 2 ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 3 ( x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 2

Para ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 ) temos que as derivadas parciais de f existem e são contínuas.

Quando aplicamos o ponto (0, 0), temos:

∂ f ∂ x 0 ,   0 = 0 e ∂ f ∂ y 0 ,   0 = 0

E

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y - f 0 ,   0 + ∂ f ∂ x 0 ,   0 x - 0 + ∂ f ∂ y 0 ,   0 y - 0 x - 0 2 + y - 0 2 = 0

Desse modo, f é diferenciável em R 2 .

Resposta

f é diferenciável em R 2 .

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