Enunciado

O martelo e a pena

Quando o astronauta da Apollo 15, David Scott, jogou um martelo e uma pena na Lua para demonstrar que no vácuo todos os corpos caem com a mesma aceleração (constante), ele os jogou de cerca de 4 pés acima do solo. A cobertura televisiva do evento mostra o martelo e a pena caindo mais lentamente do que na Terra, onde, no vácuo, eles deveriam ter gasto apenas meio segundo para percorrer os 4 pés. Quanto tempo gastaram o martelo e a pena para percorrer os 4 pés na Lua? Para descobrir, resolva o seguinte problema de valor inicial para s em função de t. Depois, determine o valor de t que faz com que s seja igual a 0.

Passo 1

Seguindo os passos dados pelos enunciado, iremos primeiramente resolver o P.V.I. que nos dá as equações da desaceleração e da velocidade.

Para determinar a função real da velocidade, deve-se fazer a integral da função da aceleração e, então, descobrir a primeira constante no instante dado ( t = 0 ) .

Da mesma forma, para determinar a função do deslocamento, deve-se fazer a integral da função da velocidade e, então, descobrir a segunda constante no mesmo instante dado.

Por fim, será necessário descobrir o valor de t a partir da outra condição dada em que s = 0 .

Passo 2

Então, para descobrir a velocidade, temos que:

v = ∫ a   d t = ∫ - 5,2 d t

v = - 5,2 t + C 1

Aplicando os valores da condição dada:

v = d s d t = 0 = - 5,2 0 + C 1

∴ C 1 = 0

Com isso:

v = d s d t = - 5,2 t

Passo 3

Agora, é possível determinar a equação do deslocamento que é representado pela integral da função velocidade, ou seja:

s = ∫ - 5,2 t d t = - 2,6 t 2 + C 2

Para encontrar a constante C 2 , devemos aplicar as condições fornecidas. Assim, temos:

4 = - 2,6 0 2 + C 2 ∴ C 2 = 4

E:

s = - 2,6 t 2 + 4

Passo 4

Logo, para determinar o tempo desejado, iremos aplicar a última condição:

0 = - 2,6 t 2 + 4

t = ± 4 2,6 ∴ t ≈ 1,24

Por ser uma equação de segundo grau, t admite dois valores. No entanto, o tempo não pode ser negativo.

Resposta

O martelo e a pena gastaram aproximadamente 1,24   s para percorrer os 4 pés na Lua.

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