Enunciado

Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão nos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração na traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde o ar expelido escoe. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia pela equação.

v r = k r 0 - r r 2 ,     1 2 r 0 ≤ r ≤ r 0

Em que k é uma constante e r 0 o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que 1 2 r 0 (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).

  1. Determine o valor de r no intervalo 1 2 r 0 , r 0 no qual v tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
  2. Qual é o valor máximo absoluto de v no intervalo?
  3. Esboce o gráfico de v no intervalo 0 , r 0 .

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. A função da velocidade é contínua e o domínio é um intervalo fechado. Portanto, podemos encontrar o valor máximo da velocidade comparando os valores de v nos números críticos e nos pontos finais do intervalo.

Passo 2

  1. Para encontrar o máximo absoluto, nós derivamos a função e igualamos a zero, então
  2. v r = k r 2 r 0 - k r 3

    v ' r = 2 k r r 0 - 3 k r 2 = k r ( 2 r 0 - 3 r )

    k r 2 r 0 - 3 r = 0

    r = 0

    ou

    2 r 0 - 3 r = 0

    Porém, note que r ∈ 1 2 r 0 , r 0 e r = 0 não está no intervalo dado, então, este valor não deve ser considerado

    2 r 0 - 3 r = 0

    3 r = 2 r 0

    r = 2 3 r 0

    O valor exato de r coincide com as evidências experimentais.

    Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:

    O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

    1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

    2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

    3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

    Agora, aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular v 1 2 r 0 ,   v 2 3 r 0 e v r 0 .

    Substituindo os valores na equação da velocidade, v r = k r 0 - r r 2 :

    v 1 2 r 0 = 1 8 k r 0 3

    v 2 3 r 0 = 4 27 k r 0 3

    v r 0 = 0

    Então, podemos concluir que v é máximo quando r = 2 3 r 0

    Paso 3

  3. Pela parte (a), temos que v máximo é igual
  4. v = 4 27 k r 0 3

    Passo 4

  5. Esboçando o gráfico, ficamos com

Resposta

  1. r = 2 3 r 0

  2. v = 4 27 k r 0 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem g x = 4
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem f x = x
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem g t =- 3
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem g x = x
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem f θ =3 θ