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Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão nos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração na traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde o ar expelido escoe. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia pela equação.

v r = k r 0 - r r 2 ,     1 2 r 0 ≤ r ≤ r 0

Em que k é uma constante e r 0 o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que 1 2 r 0 (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).

  1. Determine o valor de r no intervalo 1 2 r 0 , r 0 no qual v tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
  2. Qual é o valor máximo absoluto de v no intervalo?
  3. Esboce o gráfico de v no intervalo 0 , r 0 .

Passo 1

  1. Para encontrar o máximo absoluto, nós derivamos a função e igualamos a zero, então
  2. v r = k r 2 r 0 - k r 3

    v ' r = 2 k r r 0 - 3 k r 2 = k r ( 2 r 0 - 3 r )

    k r 2 r 0 - 3 r = 0

    r = 0   o u   2 r 0 - 3 r = 0

    Porém, note que r ∈ 1 2 r 0 , r 0 e r = 0 não está no intervalo dado, então, este valor não deve ser considerado

    2 r 0 - 3 r = 0

    3 r = 2 r 0

    r = 2 3 r 0

    Passo 2

    1. Agora, aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular v 1 2 r 0 ,   v 2 3 r 0 e v r 0

    v 1 2 r 0 = 1 8 k r 0 3

    v 2 3 r 0 = 4 27 k r 0 3

    v r 0 = 0

    Então, podemos concluir que v é máximo quando r = 2 3 r 0

    Passo 3

  3. Pela parte (a), temos que v máximo é igual
  4. v = 4 27 k r 0 3

    Passo 4

  5. Esboçando o gráfico, ficamos com

Resposta

  1. r = 2 3 r 0

v = 4 27 k r 0 3

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