Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 75
Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão nos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração na traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde o ar expelido escoe. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade está relacionada ao raio da traqueia pela equação.
Em que é uma constante e o raio normal da traqueia. A restrição sobre deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
- Determine o valor de no intervalo no qual tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
- Qual é o valor máximo absoluto de no intervalo?
- Esboce o gráfico de no intervalo .
Passo 1
Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. A função da velocidade é contínua e o domínio é um intervalo fechado. Portanto, podemos encontrar o valor máximo da velocidade comparando os valores de nos números críticos e nos pontos finais do intervalo.
Passo 2
- Para encontrar o máximo absoluto, nós derivamos a função e igualamos a zero, então
- Pela parte (a), temos que máximo é igual
- Esboçando o gráfico, ficamos com
ou
Porém, note que e não está no intervalo dado, então, este valor não deve ser considerado
O valor exato de coincide com as evidências experimentais.
Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:
O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:
1- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
2- Encontre os valores de f nos números críticos de f em [a,b].
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Agora, aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular e .
Substituindo os valores na equação da velocidade, :
Então, podemos concluir que é máximo quando
Paso 3
Passo 4
Resposta
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