Enunciado

Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o círculo, torna-se mais cômodo utilizar coordenadas polares. Veja bem:

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Portanto, aplicando ao problema, temos r indo de 0 a 1 . E θ de π a 2 π :

0 ≤ r ≤ 1 ,   π ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Bom... Queremos representar a integral dupla ∬ R f x , y d A como uma integral iterada. Como:

d A = r d r d θ

Temo que:

∬ R f x , y d A = ∫ π 2 π ∫ 0 1 f r cos ⁡ θ ,   r sen ⁡ θ r d r d θ

Resposta

∬ R f x , y d A = ∫ π 2 π ∫ 0 1 f r cos ⁡ θ ,   r sen ⁡ θ r d r d θ

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Calcular ∬ R x - 1 2 + y - 2 2 d x d y , onde R é delimitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 .
Calcular ∬ R x y d x d y , onde R é delimitada por x 2 4 + y 2 9 = 1 .
Calcular ∬ R ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R o anel delimitado por x 2 + y 2 = 16 e x 2 + y 2 = 25 .
Calcular ∬ R y d x d y , sendo R o círculo x 2 + y 2 - 4 y ≤ 0 .
Calcular ∬ R ( 8 - x - y ) d x d y , sendo R delimitada por x 2 + y 2 = 1 .