Enunciado

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Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:

57) z = 4 - 2 x - 3 y ;   x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo ou mínimo, mas sabendo que x 2 + y 2 = 1 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   x 2 + y 2 = 1

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                             4 - 2 x - 3 y

s . a .                                                   x 2 + y 2 = 1

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 4 - 2 x - 3 y - λ ( x 2 + y 2 - 1 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = - 2 - 2 λ x = 0

∂ L ∂ y = - 3 - 2 λ y = 0

∂ L ∂ λ = - ( x 2 + y 2 - 1 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

y = 3 x 2

Colocando na última equação:

x 2 + 3 x 2 2 - 1 = 0

13 x 2 - 4 = 0

x = ± 2 13 = ± 2 13 13

Substituindo no y:

y = 3 2 × ± 2 13 13 = ± 3 13 13  

Então nós teremos dois pontos:

2 13 13 ,   3 13 13   e   - 2 13 13 ,   - 3 13 13

Passo 3

Para saber qual é o máximo e qual é o mínimo basta substituir na função:

z = 4 - 2 x - 3 y

Para o ponto 2 13 13 ,   3 13 13 :

z = 4 - 2 × 2 13 13 - 3 × 3 13 13

z = 4 - 4 13 13 - 9 13 13 = 0,39

Para o ponto - 2 13 13 , -   3 13 13 :

z = 4 - 2 × - 2 13 13 - 3 × - 3 13 13

z = 4 + 4 13 13 + 9 13 13 = 7,6

Sendo assim:

2 13 13 ,   3 13 13 → M í n i m o  

- 2 13 13 ,   - 3 13 13 → M á x i m o

Gostaram?

Resposta

2 13 13 ,   3 13 13 → M í n i m o  

- 2 13 13 ,   - 3 13 13 → M á x i m o

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