Enunciado

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Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ ln 3 ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln 3 ⁡ 2 x ;

d u = 3 ln 2 ⁡ 2 x ⋅ 1 x   d x ;

d v = d x ;

v = ∫   d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln 3 ⁡ 2 x ⋅ x - ∫ x ⋅   3 ln 2 ⁡ 2 x ⋅ 1 x   d x

∫ u d v = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 ∫ ln 2 ⁡ 2 x d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes:

u = ln 2 ⁡ 2 x ;

d u = 2 ln ⁡ 2 x ⋅ 1 x   d x ;

d v = d x ;

v = ∫   d x = x .

∫ u d v = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 ∫ ln 2 ⁡ 2 x d x = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 ln 2 ⁡ 2 x ⋅ x - ∫ x ⋅ 2 ln ⁡ 2 x ⋅ 1 x   d x

∫ u d v = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 ln 2 ⁡ 2 x ⋅ x - 2 ∫ ln ⁡ 2 x   d x

Passo 3

Temos que aplicar mais uma integração por partes:

u = ln ⁡ 2 x ;

d u = 1 x   d x ;

d v = d x ;

v = ∫   d x = x .

∫ u d v = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 ln 2 ⁡ 2 x ⋅ x + 6 x ⋅ ln ⁡ 2 x - ∫ x ⋅ 1 x d x

∫ u d v = x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 x ⋅ ln 2 ⁡ 2 x + 6 x ⋅ ln ⁡ 2 x - 6 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 x ⋅ ln 2 ⁡ 2 x + 6 x ⋅ ln ⁡ 2 x - 6 x + c

Resposta

x ⋅ ln 3 ⁡ 2 x - 3 x ⋅ ln 2 ⁡ 2 x + 6 x ⋅ ln ⁡ 2 x - 6 x + c

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