Enunciado

Seja F : Ω ⊂ R 3 → R , Ω aberto, uma função de classe C 1 tal que ∂ F ∂ z ≠ 0 em Ω . Seja f : K → R , onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio contido em Ω , tal que F x , y , f x , y = 0 para todo x , y ∈ K , isto é, z = f x , y é definida implicitamente pela equação F x , y , z = 0 . Mostre que a área da superfície z = f x , y é dada pela fórmula

∬ K ∂ F ∂ x 2 + ∂ F ∂ y 2 + ∂ F ∂ z 2 ∂ F ∂ z   d x   d y

Passo 1

A área de qualquer superfície pode ser calculada sabendo a definição por tras dela. Assim tome que

á r e a = ∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ u d u d v  

Onde o processo para se chegar na fórmula do nosso problema é parametrizar nossa superfície, calcular suas derivadas direcionais e por fim, tirar a norma. Sempre será isso. Sempre...

Mão a obra

Passo 2

Primeiro olhamos para a nossa “parametrização”. Não sei porque colocamos aspas, visto que querendo ou não, é uma parametrização. Assim segue que

σ x , y , z = x , y , f x , y

Assim, calculando as derivadas direcionais, temos

∂ σ ∂ x = 1,0 , ∂ f ∂ x

e

∂ σ ∂ y = 0 , 1 , ∂ f ∂ y

E tirando agora o produto vetorial entre elas

∂ σ ∂ θ ∧ ∂ σ ∂ ϕ = i → j → k → 1 0 ∂ f / ∂ x 0 1 ∂ f / ∂ y

= i → - ∂ f ∂ x - j → - ∂ f ∂ y + k →

E agora tirando a norma, ficamos com

∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2 + 1

Passo 3

Bom, até aqui só seguimos a nossa receitinha de bolo. Agora vamos olhar o que o enunciano nos dá. Ele diz que z = f x , y é obtida implicitamente pela F x , y , z = 0 , ou seja, podemos escrever que

∂ F ∂ z = ∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ z → ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x = ∂ F ∂ x / ∂ F ∂ z

E assim consequentemente podemos escrever que

∂ f ∂ y = ∂ F ∂ y / ∂ F ∂ z

Logo nossa raiz se transforma em

∂ F ∂ x ∂ F ∂ z 2 + ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z 2 + 1 = ∂ F ∂ x 2 + ∂ F ∂ y 2 + ∂ F ∂ z 2 ∂ F ∂ z 2 = ∂ F ∂ x 2 + ∂ F ∂ y 2 + ∂ F ∂ z 2 ∂ F ∂ z

Assim temos que

A = ∬ K ∂ F ∂ x 2 + ∂ F ∂ y 2 + ∂ F ∂ z 2 ∂ F ∂ z d x d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ y 2 d S S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x d S S é a superfície y = x 2 + 4 z , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ y 2 z 2 d S S é a parte do cone y = x 2 + z 2 dado por 0 ≤ y ≤ 5 .
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ z 2 d S S é a parte do paraboloide x = y 2 + z 2 dado por 0 ≤ x ≤ 1 .