Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

12. a n = 1 + 1 n - n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Para calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n - n   ( 2 )

Devemos nos lembrar de um limite especial que costuma aparecer na sequência:

lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x ,     ∀ x ∈ R   ( 3 )

Passo 2

Como a potência no limite (2) é igual a - n , não n , escreveremos o limite (2) usando a propriedade a m n = a m n :

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n - n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1

Para aplicar o limite à expressão dentro dos colchetes, devemos lembrar sobre os limites de funções contínuas, se lim x → a ⁡ f ( x ) = L e a função g é uma função contínua no ponto L , portanto,

lim x → a ⁡ g f x = g ( L )

Em outras palavras, o limite e a função contínua comutam. Observe que em nossa tarefa não temos funções e sim sequências (seu domínio é o conjunto dos números naturais). Mas neste caso, podemos considerar n como uma variável real contínua. O x devemos incluir na expressão (3) para calcular o limite. Vemos que para x devemos tomar x = 1 . Portanto, a avaliação do limite é igual a:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e 1 = e = L

Como a função racional x - 1 = 1 x ​ é contínua em x = e , podemos aplicar os limites da função contínua à expressão

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n - 1 = e - 1 = 1 e

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e lim n → ∞ ⁡ a n = e - 1  

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