Enunciado

A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que A e B são constantes positivas. A função X t descreve a concentração de droga na corrente sanguínea em relação ao tempo t . Encontre o valor limite de X quando t → ∞ . Quando a concentração atinge a metade desse valor limite? Suponha que X 0 = 0 .

Passo 1

Então pessoal, mesmo sem muitas informações conseguimos criar uma equação diferencial que faça sentido pro problema. Podemos dizer que A é a quantidade de droga injetada na corrente sanguínea, ok? Perfeito. Além disso, sabemos que o corpo joga as toxinas da droga pra fora do corpo com o passar do tempo, então podemos criar uma expressão do tipo:

d X d t = A - B t

Aonde B é apenas uma constante que acompanha a expressão, já que o enunciado diz que é um valor que existe. Não sabemos se a expressão está correta, mas ela faz bastante sentido. O que temos que fazer agora é encontrar uma expressão para X t , então bora que bora!

Passo 2

Reescrevendo nossa expressão de outra maneira, teremos:

d X d t + B t = A

O formato dessa equação é:

d X d t + P . t = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

X = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa equação podemos tirar que:

P t = B

Q t = A

Substituindo na nossa expressão, teremos:

X = e - ∫ B d t . A ∫ e ∫ B d t d t + c

Passo 3

Para a integral do expoente, temos:

∫ B d t = B t

Substituindo:

X = e - B t . A ∫ e B t d t + c

Agora resolvendo a última integral que nos restou, teremos:

∫ e B t d t = 1 B e B t

Substituindo na solução, teremos:

X = e - B t . A . 1 B e B t + c

Simplificando tudo:

X t = A B + c e B t

E essa é a nossa expressão! No entanto a questão nos dá uma condição inicial que é X 0 = 0 . Aplicando a condição:

0 = A B + c e 0

∴ c = - A B

Substituindo, teremos:

X t = A B - A B e B t

E essa sim é a nossa expressão final!

Passo 4

Agora que temos a função que descreve o problema podemos fazer qualquer coisa com essa informação. A questão quer que encontremos o valor limite de X quando t → ∞ . Aplicando isso, teremos:

X + ∞ = A B - A + ∞

Como o segundo termo zera, teremos:

X ∞ = A B

E isso nos diz que sempre terá um resquício da droga no nosso organismo, o que confirma que nosso resultado está correto! Tendo em vista esse resultado, o enunciado também pede que calculemos quando que a concentração atinge a metade desse valor limite que encontramos agora. Temos:

1 2 A B = A B - A B e B t

- 1 2 . A B = A B e B t

- 1 2 = e - B t

Aplicando l n em ambos os lados:

ln ⁡ 2 - 1 = - B t . ln ⁡ e

ln ⁡ 2 = B t

∴ t = ln ⁡ 2 B

E nesse tempo a concentração atinge a metade do valor limite! 😉

Resposta

X t = A B - A B e B t

Valor limite: X ∞ = A B

Tempo para chegar no valor limite: t = ln ⁡ 2 B

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