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Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2

Passo 1

Opa! Sopa de letrinhas com termo em n como expoente??? Vamos aplicar o Teste da Raiz!

Passo 2

Pelo Teste da Raiz:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n 2 n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n

Xiii...Agora complicou! Como resolver esse limite?!?!

Bom....Você se lembra láááá daqueles limites fundamentais? Então, um deles é aquele que resultava no e :

lim x → ± ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

É....eu sei....esse é aquele pulo do gato em que você deve estar esperto e afiado nos paranauês do Cálculo. Bom, o Responde Aí está aqui pra isso!

Vamos retornar ao nosso limite reescrvendo que n n + 1 = 1 1 + 1 n ...

Passo 3

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n = 1 e

Passo 4

Show de bola! Como o nosso limite lim n → ∞ ⁡ a n n = 1 e < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente pelo Teste da Raiz.

Resposta

∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2   é convergente

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