Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

11. ∑ k = 1 ∞ 1 k !

Passo 1

O teste da razão é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L > 1 a serie diverge, e se L < 1 , a série converge. Vamos aplicar na série dada com sequência a k = 1 k ! :

L = lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1 ! 1 k ! = l i m k → ∞ k ! k + 1 !

Abrindo o fatorial do denominador uma vez:

L = l i m k → ∞ k ! k + 1 k !

Simplificamos o k ! , ficando só com:

L = l i m k → ∞ 1 k + 1

Tirando do módulo:

L = l i m k → ∞ 1 k + 1

Passo 2

Por fim, aplicamos o limite, como só há um k no denominador, a razão tende para zero porque k → ∞ , e L será:

L = 0

Que é menor que 1, e então a série será absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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