Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n sen ⁡ π n

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada para a serie com

b n = sen ⁡ π n

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

sen ⁡ π n + 1 < sen ⁡ π n

O argumento do seno vai variar de π / 2 até 0 a medida que n aumenta, considerando apenas n ≥ 2 para que b n ≥ 0 sempre, o termo com n = 1 sozinho não vai implicar na divergência da série, e neste intervalo o valor do seno vai de 1 até 0 , diminuindo, então a função é sim decrecente e a comparação é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ π n = sen ⁡ 0 = 0

Como a série obedece as regras do teste da série alternada, ela é convergente.

Resposta

Converge.

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