Enunciado

Trace a curva x = 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ               y = 2 s e n   θ - s e n 2 θ    

Se essa curva girar em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar o intervalo correto do parâmetro.)

Passo 1

Precisamos desenhar a curva x = 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ               y = 2 s e n   θ - s e n 2 θ ,     para fazer isso, podemos dar valores para θ e ver “para onde vai” x e y , por exemplo: se θ = 0   , temos x = 2 c o s 0 - c o s 0 = 1   e y = 2 s e n 0 - s e n 2.0 = 0 . Se θ = π / 2 , temos x = 2 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ π = 1   e y = 2 s e n π 2 - s e n   π = 2 . Assim, ficamos com o seguinte gráfico:

Passo 2

Agora nós queremos calcular a área da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo x , sabemos que a área de uma superfície é S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2

A parte de cima da figura é desenhada no sentido anti-horário de θ = 0 para π , como vamos rotacioná-la ao redor do eixo x , basta pegar esse intervalo de θ ,   então esses são os limites de integração que vamos precisar usar.

S = ∫ a b 2 π y   d s

S = 2 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ - 2 s e n   θ + 2 s e n   2 θ 2 + 2 c o s θ - 2 c o s 2 θ 2   d θ

S = 2 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 4 s e n 2 θ - 8 s e n   θ s e n 2 θ + 4 s e n 2 2 θ + 4 cos 2 ⁡ θ - 8 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ + 4 cos 2 ⁡ 2 θ   d θ

S = 2 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 4 [ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ ] - 2 s e n   θ s e n 2 θ - ⁡ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ + [ cos 2 ⁡ 2 θ + s e n 2 θ ]   d θ

S = 2 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ ( 2 ) 1 - 2 s e n   θ s e n 2 θ - ⁡ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ + [ 1 ]   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 2 s e n   θ s e n 2 θ - ⁡ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ   d θ

Para resolver essa integral vamos lembrar da identidade trigonométrica que diz que: cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1 e s e n   2 θ = 2 s e n θ c o s θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 2 s e n   θ ( 2 s e n θ cos ⁡ θ ) - ⁡ 2 cos ⁡ θ ( 2 cos 2 ⁡ θ - 1 )   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 4 s e n 2   θ cos ⁡ θ - ⁡ 4 cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 2 c o s θ )   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 4 cos ⁡ θ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 4 cos ⁡ θ ( 1 ) + 2 cos ⁡ θ   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 - 2 cos ⁡ θ   d θ

S = 4 π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 2 1 - cos ⁡ θ   d θ

S = 4 2   π ∫ 0 π 2 s e n   θ - s e n 2 θ 1 - cos ⁡ θ   d θ

Vamos usar mais uma vez que s e n   2 θ = 2 s e n θ c o s θ

S = 4 2   π ∫ 0 π 2 s e n   θ - 2 s e n θ cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ   d θ

S = 4 2   π ∫ 0 π 2 s e n   θ ( 1 - cos ⁡ θ ) 1 - cos ⁡ θ   d θ

S = 8 2   π ∫ 0 π s e n   θ ( 1 - cos ⁡ θ ) 3 2       d θ

S = 8 2   2 5 1 - c o s θ 5 2 0 π

S = 16 5 π 2 1 - - 1 5 2 - 1 - 1 5 2

S = 16 5 π 2 2 5 2 - 0

S = 16 5 π ( 2 6 2 )

S = 128 π 5 ≈ 80,42

Resposta

S = 128 π 5 ≈ 80,42

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Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 cos ⁡ 3 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 cos ⁡ θ r = 1
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 3 ( 1 + cos ⁡ θ )
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela r = 2 - sen ⁡ 2 θ