Enunciado

Use um CAS para encontrar a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

A lâmina delimitada pelo gráfico de y = ln ⁡ x , o eixo x e a reta x = 2 ; δ = 1 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar a massa pela expressão:

m = A δ

Já que a densidade δ é constante. E encontrar o centro de gravidade usando nossas fórmulinhas:

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a área da nossa lâmina:

A região descrita por ela é limitada por cima pela função y = ln ⁡ x e por baixo pela função y = 0 . A interseção entre y = ln ⁡ x e y = 0 é x = 1 . Por isso, nossa região está no intervalo [ 1,2 ] .

Podemos então dizer que a área pode ser achada pela integral:

A = ∫ 1 2 ln ⁡ x d x

Podemos usar um CAS (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador) para resolver a integral e lembrando de uma propriedadezinha de log:

A = 2 ln ⁡ 2 - 1 = ln ⁡ 4 - 1

Então a massa é:

m = A δ = ( 1 ) ⋅ ln ⁡ 4 - 1 = ln ⁡ 4 - 1

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centro de gravidade por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = ln ⁡ x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 1 e 2 .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

x - = 1 ln ⁡ 4 - 1   ∫ 1 2 x ln ⁡ x d x

Usando um CAS para resolver a integral (lembrando que a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

x - = 1 ln ⁡ 4 - 1 ⋅ ln ⁡ 4 - 3 4 = 4 ln ⁡ 4 - 3 4 ln ⁡ 4 - 1

Passo 4

Agora a coordenada y - . A gente pode usar essa fórmula aqui:

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = ln ⁡ x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 1 e 2 .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

y - = 1 ln ⁡ 4 - 1   ∫ 1 2 1 2 ln ⁡ x 2 d x

Usando um CAS para resolver a integral (lembrando que a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

y -   = 1 ln ⁡ 4 - 1 ( ln 2 ⁡ 2 - ln ⁡ 4 + 1 ) = ln 2 ⁡ 2 - ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4 - 1

Temos que o nosso centro de gravidade está no ponto:

x - ,   y - = 4 ln ⁡ 4 - 3 4 ln ⁡ 4 - 1 , ln 2 ⁡ 2 - ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4 - 1

Resposta

m = ln ⁡ 4 - 1

x - ,   y - = 4 ln ⁡ 4 - 3 4 ln ⁡ 4 - 1 , ln 2 ⁡ 2 - ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4 - 1

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Resolva a integral: ∫ π 6 π 2 csc ⁡ t cot ⁡ t d t
Esboce a região delimitada pela curva fornecida e calcule sua área: y = x 3 , y = 0 , x = 1
Esboce a região delimitada pela curva fornecida e calcule sua área: y = 4 - x 2 , y = 0
Esboce a região delimitada pela curva fornecida e calcule sua área: y = x , y = 0 , x = 4
Esboce a região delimitada pela curva fornecida e calcule sua área: y = 2 x - x 2 , y = 0