Enunciado

23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.

(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x

(d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x

(e) lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x

(f) lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x

(g) lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x

(h) lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x

(i) lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x

Passo 1

(g)

A cotangente hiperbólica é a mesma coisa que 1 sobre a tangente hiperbólica:

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

A gente sabe que a tangente hiperbólica é:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

Então a cotangente hiperbólica fica:

cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x

Aplicando o limite:

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ cosh ⁡ x senh ⁡ x

Quando calculamos o cosseno hiperbólico de um numero muito próximo de zero, vamos obter aproximadamente 1, então quando o x tender a zero o cosseno hiperbólico tenderá a 1.

lim x → 0 + ⁡ co s h ⁡ x = 1

Já para o seno hiperbólico, quando nós calculamos o seno de um numero próximo a zero, obtemos aproximadamente zero, então quando o x tende a 0 (pelo lado direito) o seno hiperbólico tende a zero:

lim x → 0 + ⁡ sen h ⁡ x = 0 +

Perceba que tende a zero pela direita então esse numero é positivo.

Analisando o limite da cotangente hiperbólica temos que ela tenderá a infitivo:

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ cosh ⁡ x senh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = 1 0 +

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x = ∞

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