Enunciado

(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para

f x = 1 1 + x 2

Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para

f x = 1 1 + x 3

(c) Use item (b) para achar uma série de potências

f x = x 2 1 + x 3

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Note o seguinte. Vou pegar uma função g x :

g x = - 1 1 + x

Se eu derivar essa função:

g ' ( x ) = - - 1 ( 1 ) 1 + x 2

g ' x = 1 1 + x 2 = f ( x )

Então eu posso dizer que:

f x = 1 1 + x 2 = g ' x = - 1 1 + x ' = - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n ' = - ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) x n

O raio de convergência da série deve ser o mesmo da série que foi derivada, então R = 1 , certo?

Passo 2

(b) Agora olha só, vamos aproveitar o item (a):

f x = 1 1 + x 3 = - 1 2 1 1 + x 2 ' = - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n ' = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n

Passo 3

(c) Aqui a gente vai aproveitar o item (b):

f x = x 2 1 + x 3 = x 2 1 1 + x 3 = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2 = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n n - 1 2 x n

Resposta

(a) ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n

R = 1

(b) ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n

(c) ∑ n = 2 ∞ - 1 n n n - 1 2 x n

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