Enunciado

  1. Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de
  2. f x = x x 2 + 1

    e use-o para explicar o que acontece se aplicamos o Método de Newton com o valor inicial de x 1 = 2 . Verifique sua conclusão computando x 2 ,   x 3 ,   x 4 e   x 5 .

  3. Use o gráfico gerado em (a) para explicar o que acontece se aplicarmos o Método de Newton com um valor inicial de x 1 = 0,5 . Verifique sua conclusão computando x 2 ,   x 3 ,   x 4 e   x 5 .

Passo 1

Fala aí!! Tudo joia?

Vamos começar do jeitinho que a questão pediu, gerando o gráfico. Você pode fazer isso no Geogebra, no Desmos...

Olha aqui:

A gente tem um ponto de máximo ali próximo de x = 1   e um mínimo em x = - 1 , então se a gente usar x 1 = 2   e   x 1 = 0,5 não vai dar muito certo essa aproximação não... vamos ver:

Passo 2

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

A nossa derivada aqui é:

f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2  

Vamos aplicar no método agora:

x 2 = 2 - 2 2 2 + 1 - 2 2 + 1 2 2 + 1 2 = 5,3333 …

x 3 = 11,055

x 4 = 22 ,   2924

x 5 = 44 ,   6747

Ou seja, com x 1 = 2 os números vão aumentando muito rápido a cada aproximação.

Passo 3

  1. Vamos ver agora com x 1 = 0,5 .

x 2 =   0,5 - 0,5 0,5 2 + 1 - 0,5 2 + 1 0,5 2 + 1 2 = - 0,3333 …

x 3 = 0,08306

x 4 = - 0,001154

x 5 = - 0,000000003 …

Ou seja, quando usamos x = 0,5 os valores vão diminuindo de forma muito significativa.

Resposta

Em x 1 = 2 encontramos valores cada vez maiores e em x 1 = 0,5 encontramos valores cada vez menores.

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