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Use séries de potências para resolver a equação diferencial.

x - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Como ele nos pede para resolver essa equação diferencial usando séries de potências vamos supor o seguinte:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n  

Como aparece y ' ( x ) na equação, vamos derivar.

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1    

Passo 2

Então vamos ver como fica nossa EDO.

x - 3 y ' + 2 y = 0

Substituindo:

x - 3 ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1     + 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ c n x n   = 0

Assim,

x ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1 - 3 ⋅ ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1     + 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ c n x n   = 0

Arrumando as coisas:

∑ n = 1 ∞ n c n x n - 3 ⋅ ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1     + 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n   = 0

E podemos escrever o seguinte:

∑ n = 1 ∞ n c n x n - 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) c n + 1 x n     + 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n   = 0

Repare que só ajustamos o índice do termo do meio e nosso somatório se manteve igual.

Passo 3

Juntando tudo:

∑ n = 0 ∞ n c n - 3 n + 1 c n + 1 + 2 c n x n = 0

Assim,

n c n - 3 n + 1 c n + 1 + 2 c n = 0

Logo,

c n + 1 = n + 2 3 ( n + 1 ) c n

Pra resolver essa recorrência vamos fazer o seguinte:

c n + 1 = n + 2 3 ( n + 1 ) c n

c n = n + 1 3 n c n - 1

c 3 = 4 3 ⋅ 3 c 2

c 2 = 3 3 ⋅ 2 c 1

Quando multiplicarmos, repare que c 2 , c 3 … c n . Assim,

c n + 1 = n + 2 3 n + 1 ⋅ n + 1 3 n ⋅ … ⋅ 4 3 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ⋅ 2 c 1

Simplificando, temos:

c n + 1 = n + 1 3 n c 1

Passo 4

Voltando para nossa expressão de y :

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n  

Assim,

y x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 3 n c 1 x n

Portanto, a solução do nossa problema será:

y x = c 1 ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ x 3 n

Resposta

y x = c 1 ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ x 3 n

Onde c 1 é uma constante.

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