Enunciado

Use o Teorema 0.2.3 para determinar se os gráficos têm simetrias em relação ao eixo x, ao eixo y ou à origem.

(a) x 4 = 2 y 3 + y

(b) y = x 3 + x 2

(c) y 2 = x - 5

Passo 1

Vamos ver, primeiro, o que diz o teorema 0.2.3:

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, substituindo-se x por −x em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, substituindo-se y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, substituindo-se x por −x e y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

Então, vamos usar isso para responder ao problema. Só fazer as substituições do teorema e ver em qual dos 3 casos a função se encaixa.

Passo 2

(a) x 4 = 2 y 3 + y

Primeiro, vamos substituir x por - x :

- x 4 = 2 y 3 + y

Como - x 4 = x 4 :

x 4 = 2 y 3 + y

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação a y .

Passo 3

Agora, substituindo y por - y :

x 4 = 2 ( - y ) 3 + ( - y )

Como - y 3 = - y 3 :

x 4 = - 2 y 3 - y

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a x .

Passo 4

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- x 4 = 2 - y 3 + ( - y )

Como - x 4 = x 4 e - y 3 = - y 3

x 4 = - 2 y 3 - y

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação à origem.

Passo 5

(b) y = x 3 + x 2

Primeiro, vamos substituir x por - x :

y = - x 3 + - x 2

Como - x 2 = x 2 :

y = - x 3 + x 2

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a y .

Passo 6

Agora, substituindo y por - y :

- y = x 3 + x 2

Multiplicando tudo por - 1 :

y = - x 3 + x 2

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a x .

Passo 7

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- y = - x 3 + - x 2

Como - x 2 = x 2 :

- y = - x 3 + x 2

Multiplicando tudo por - 1 :

y = x 3 + x 2

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação à origem.

Passo 8

(c) y 2 = x - 5

Primeiro, vamos substituir x por - x :

y 2 = - x - 5

Como - x = x :

y 2 = x - 5

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação a y .

Passo 9

Agora, substituindo y por - y :

( - y ) 2 = x - 5

Como - y 2 = y 2 :

y 2 = x - 5

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação a x .

Passo 10

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- y 2 = - x - 5

Como - x = x e - y 2 = y 2 :

y 2 = x - 5

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação à origem.

Resposta

(a) Simetria com y .

(b) Simetria com a origem.

(c) Todas as 3 simetrias.

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