Enunciado

Verifique a aproximação linear em (0,0) .

(2 x + 3)/(4 y + 1) tildetilde 3 + 2 x - 12 y

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão também não tem mistério.

Vamos chamar o lado esquerdo da nossa expressão de f (x , y) , ou seja,

f (x , y) = (2 x + 3)/(4 y + 1)

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais (del f)/(del x) e (del f)/(del y) existem e são contínuas em (0,0) , pois aí já saberemos se a função é diferenciável e se existe a possibilidade de uma aproximação linear.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

(del f)/(del x) = (del)/(del x) ((2 x + 3)/(4 y + 1)) = (2)/(4 y + 1) underset(N o p o n t o (0,0))(->) (del f)/(del x) (0,0) = 2

(del f)/(del y) = (del)/(del y) ((2 x + 3)/(4 y + 1)) = -(4 * (2 x + 3))/((4 y + 1)^2) underset(N o p o n t o (0,0))(->) (del f)/(del y) (0,0) = - 12

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse (0,0) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para y != - 1 // 4 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto (0,0) .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto (0,0) , basta fazer:

L (x , y) = underset(3)(ubrace f (0,0)) + underset(2)(ubrace (del f)/(del x) (0,0)) * (x - 0) + underset(- 12)(ubrace (del f)/(del y) (0,0)) * (y - 0)

L(x , y)=3+2x-12y

Resposta

A linearização L (x , y) = 3 + 2 x - 12 y está correta

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