Enunciado

Verifique que f x = s e n x 3 é uma função ímpar e use este fato para mostrar que

0 ≤ ∫ - 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1

Passo 1

Opa! O enunciado nos diz que f x = s e n x 3 é uma função ímpar e nos pede pra mostrar que:

0 ≤ ∫ - 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1

Só pra relembrar, uma função ímpar é aquela onde:

f - x = - f ( x )

No nosso caso temos:

s e n - x 3 = - s e n x 3

Sabemos que isso é verdade por causa da propriedade:

- s e n   θ = s e n   ( - θ )

Passo 2

Olhos no prémio, queremos provar que:

0 ≤ ∫ - 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1

Para uma função ímpar temos que:

∫ - a a f x d x = 0

Podemos escrever a nossa integral usando dois intervalos, dessa forma:

∫ - 2 3 s e n x 3 d x = ∫ 2 3 s e n x 3 d x + ∫ - 2 2 s e n x 3 d x

Sabemos que:

∫ - 2 2 s e n x 3 d x = 0

Então:

∫ - 2 3 s e n x 3 d x = ∫ 2 3 s e n x 3 d x

Passo 3

Para sabermos o valor de ∫ 2 3 s e n x 3 d x , o intervalo será o seguinte

2 ≤ x ≤ 3

Como x é x 3 , logo:

2 3 ≤ x 3 ≤ 3 3

≅ 1,44

Para o seno, temos que levar em consideração o intervalo em que é positivo, então

0 ≤ x 3 ≤ π 2

≅ 1,57

s e n   0 ≤ s e n x 3 ≤ s e n π 2         ∴         0 ≤ s e n x 3 ≤ 1

Portanto, para I 2 , temos

0   ( 3 - 2 ) ≤ ∫ 2 3 s e n x 3 d x ≤ ( 3 - 2 ) 1

0   ≤ ∫ 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1

E consequentemente,

0   ≤ ∫ - 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1

Resposta

Função ímpar com 0   ≤ ∫ 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1 e 0   ≤ ∫ - 2 3 s e n x 3 d x ≤ 1 .

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