Enunciado

Avalie a integral definida.

int_0^1 cos ( (pi t)/(2) ) d t

Passo 1

Opa, bora calcular a integral:

int_0^1 cos (pi t)/(2) d t

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = (pi t)/(2)

Calculamos d u :

(d u)/(d t) = (pi)/(2) -> d t = (2)/(pi) d u

Aqui a gente também precisamos mudar os limites de integração, para t = 0 , temos:

u = (pi 0)/(2) = 0

Para t = 1 :

u = (pi 1)/(2) = (pi)/(2)

Substituindo:

int_0^((pi)/(2)) cos u ((2)/(pi) d u) = (2)/(pi) int_0^((pi)/(2)) cos u d u

Passo 2

Agora vamos calcular a integral:

(2)/(pi) int_0^((pi)/(2)) cos u d u = 2 pi sin (u|_0^(pi // 2)

Aplicando os limites de integração:

= (2)/(pi) [ s i n (pi)/(2) - s i n 0 ]

= (2)/(pi) [ 1 - 0 ]

Então temos:

int_0^1 cos ((pi t)/(2)) d t = (2)/(pi)

Como alteramos os limites de integração, não precisamos voltar pra variável original!

Resposta

int_0^1 cos ( (pi t)/(2) ) d t = (2)/(pi)

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