Enunciado

Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 4   m e está engastada na base e presa por pinos no topo. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

Olá, meus miguxos!

Essa questão aqui você talvez já até tenha feito uma parecida mas agora temos um ponto que fazer toda a diferença!

O problema nos diz que a coluna está engastada na base e presa por pinos no topo, a equação da carga crítica é:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

E vai ser exatamente essa carga crítica que o problema vai querer!

O problema nos disse que é um aço A - 36 , que tem E = 200   G P a , e também forneceu o comprimento da coluna de L = 4   m . Então para achar a carga crítica P c r a gente precisa calcular o momento de inércia I e descobrir quanto vale esse termo K e substituir na equação!

Passo 2

Primeiro vamos achar o termo K . Esse termo é definido unicamente pelas condições dos apoios e segue sempre o mesmo padrão, e a gente viu na teoria que para o caso engastado na base e topo preso por pino vamos ter K = 7 :

Pronto! Agora é só calcular o momento de inércia e partir pro abraço!

Passo 3

Como a seção é simétrica então não precisamos nos preocupar com qual eixo vamos analisar porque:

I x = I y = I

Agora para calcular a gente tem uma figura composta por duas barras, então vamos calcular cada barra separadamente e somar os momentos resultantes:

I = I 1 + I 2

Aí aqui não tem muito segredo, a base de uma é igual a altura da outra, logo:

I b a r r a = 1 12 b h 3

I 1 = 1 12 0,010 0,060 3 = 1,8.10 - 7   m 4

E

I 2 = 1 12 0,060 0,010 3 = 5.10 - 9   m 4

I = 1,8.10 - 7 + 5.10 - 9  

I = 1,85.10 - 7   m 4

Passo 4

Agora é só substituir na equação da força crítica:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 1,85.10 - 7 ) ( 0,7 × 4 ) 2

P c r = 46,58   k N

Passo 5

Pessoal, a gente já até achou a carga crítica mas é importante também saber se não ultrapassamos o limite de escoamento do material também. Como o aço A - 36 tem σ a d m = 250   M P a , então a gente vai fazer:

σ c r = P c r A

A área da seção eu vou calcular como um quadradão ( 60   m m × 60   m m ) menos 4 quadradinhos ( 25   m m × 25   m m ) :

A = 0,060 2 - 4 × 0,025 2 = 1,1.10 - 3   m 2

Então vamos ter:

σ c r = 46,58   . 10 3 1,1.10 - 3 = 42,34   M P a

Como essa tensão é menor do que 250   M P a então a nossa coluna pode ser utilizada no projeto já que não irá flambar e nem escoar =D

Resposta

P c r = 46,58   k N

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