Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

A barra abaixo está sujeita aos momentos fletores mostrados na figura, determine a tensão normal nos pontos A e B da figura mostrada. A seção mostrada tem dimensão (50x50) cm.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 2 esforços nessa seção, os dois esforços de flexão, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 2 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

Quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de Y usamos a fórmula

σ N = M y   .     z I y y

Como a nossa seção é quadrada, já podemos determinar facilmente o valor do momento de inercia que será igual em ambas as direções, logo

I y y = I z z = B . H 3 12 = 0,5   .   0,5 3 12 = 5,21   .   10 - 3 m 4

Passo 2

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = - 250 K N . m

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Y o ponto B está em baixo e A está em cima.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que

Y B = - 25 c m = - 25   .   10 - 2 m

Y A = + 25 c m = + 25   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A e B será

σ N / A = - ( - 250   ) .   ( + 25   .   10 - 2 ) 5,21   .   10 - 3 = 11996,2 K p a ≅ 12   M p a

σ N / B = - - 250 .   - 25   .   10 - 2 5,21   .   10 - 3 = - 11996,2 K p a ≅ - 12   M p a

Passo 3

Agora vamos analisar a ação do esforço para o momento fletor na direção Y.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = M y   .     z I y y

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo y, logo,

M y   = - 320   K N . m

O sinal de Z é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Z o ponto B está na direita e A está na esquerda.

Como arbitramos que Z é negativo pra direita e positivo pra esquerda, teremos que

Z B = - 25 c m = - 25   .   10 - 2 m

Z A = + 25 c m = + 25   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M y   no ponto A e B será

σ N / A = ( - 320   ) .   ( + 25   .   10 - 2 ) 5,21   .   10 - 3 = - 15355,1 K p a ≅ - 15,4   M p a

σ N / B = - 320 .   - 25   .   10 - 2 5,21   .   10 - 3 = + 15355,1 K p a ≅ +   15,4   M p a

Passo 4

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total Normal será

σ t o t a l / A = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = 12 - 15,4 = - 3,4   M p a

σ t o t a l / B = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = - 12 + 15,4 = 3,4   M p a

Resposta

σ t o t a l / A = - 3,4   M p a

σ t o t a l / B = 3,4   M p a

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