Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

Uma viga de seção furada está sujeita ao carregamento mostrado abaixo. Sabendo disso determine o valor da tensão normal no ponto A da figura.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 2 esforços nessa seção, os dois esforços de flexão, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 2 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

Quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de Y usamos a fórmula

σ N = M y   .     z I y y

Como a nossa seção é retangular, teremos que determinar o momento de inercia para cada direção. Aqui também temos que tomar cuidado pois precisamos fazer uma diferença entre o momento de inercia da seção cheia subtraída do momento de inercia da seção vazada como mostra o exemplo abaixo

Para o I z z

I z z = B 1 . H 1 3 12 - B 2 . H 2 3 12 = 0,20   .   0,70 3 12 - 0,10   .   0,60 3 12 = 3,92   .     10 - 3 m 4

Para o I y y

I y y = B 1 . H 1 3 12 - B 2 . H 2 3 12 = 0,70   .   0,20 3 12 - 0,60   .   0,10 3 12 = 4,2   .   10 - 4 m 4

Passo 2

Do jeito que os momentos fletores estão é muito complicado definir as fórmulas e os cálculos que devemos fazer, por isso, antes de qualquer coisa, vamos decompor os nossos momentos fletores, e com essa decomposição vamos poder analisar os nossos esforços.

Como só temos um vetor fora do eixo principal, somente ele que vamos decompor

Fazendo a conta teremos que

M y 23 = C o s   45 °

M z 23 = S e n   45 °

Isolando teremos que

M y = 23   .     C o s   45 ° = 16,3   K N . m

M z = 23   .   S e n   45 ° = 16,3   K N . m

Olhando os vetores decompostos teremos que

Fazendo uma soma vetorial teremos que

M y = 17 - 16,3 =   0,7   K N . m

M z = 16,3 - 37 =   - 20,7   K N . m

Então teremos

Passo 3

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = - 20,7     K N . m

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Y o ponto A está em cima.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que

Y A = + 35 c m = + 35   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A será

σ N / A = - ( - 20,7   ) .   ( + 35   .   10 - 2 ) 3,92   .     10 - 3 = 1848,2   K p a ≅ 1,85   M p a

Passo 4

Agora vamos analisar a ação do esforço para o momento fletor na direção Y.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = M y   .     z I y y

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contr��rio ao eixo y, logo,

M y   = + 0,7   K N . m

O sinal de Z é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Z o ponto A está na direita.

Como arbitramos que Z é negativo pra direita e positivo pra esquerda, teremos que

Z A = - 10   c m = - 10     .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A será

σ N / A = ( + 0,7   ) .   ( - 10     .   10 - 2 ) 4,2   .   10 - 4 = - 166,67   K p a ≅ - 0,17   M p a

Passo 5

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total Normal será

σ t o t a l / A = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = 1,85 - 0,17 = 1,68   M p a

Resposta

σ t o t a l / A = 1,68   M p a

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