Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

A seção quadrada abaixo, de lado 33cm, está sujeita a flexão assimétrica mostrada na figura. Usando seu conhecimento de decomposição vetorial, e seu conhecimento sobre tensão normal devido a flexão, determine o valor dos esforços normais no ponto A e B da peça.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 2 esforços nessa seção, os dois esforços de flexão, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 2 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

Quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de Y usamos a fórmula

σ N = M y   .     z I y y

Como a nossa seção é quadrada, já podemos determinar facilmente o valor do momento de inercia que será igual em ambas as direções, logo

I y y = I z z = B . H 3 12 = 0,33   .   0,33 3 12 = 9,88   .   10 - 4 m 4

Passo 2

Do jeito que os momentos fletores estão é muito complicado definir as fórmulas e os cálculos que devemos fazer, por isso, antes de qualquer coisa, vamos decompor os nossos momentos fletores, e com essa decomposição vamos poder analisar os nossos esforços.

Vamos decompor cada um dos vetores, começando pelo de 200 K N . m

Fazendo a conta teremos que

M y 200 = S e n   25 °

M z 200 = C o s 25 °

Isolando teremos que

M y = 200   .   S e n 25 ° = 84,52   K N . m

M z = 200   .   C o s 25 ° = 181,26   K N . m

Decompondo agora o momento de 180   K N . m teremos

Fazendo a conta teremos que

M y 180 = C o s   12 °

M z 180 = S e n   12 °

Isolando teremos que

M y = 180   .   C o s   12 ° = 176,1     K N . m

M z = 180   .   S e n   12 ° = 37,4   K N . m

Olhando os vetores decompostos teremos que

Fazendo uma soma vetorial teremos que

M y = 84,52 - 176,1 =   - 91,58   K N . m

M z = 37,4   - 181,26 =   - 143,86   K N . m

Então teremos

Passo 3

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = - 143,86   K N . m

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Y o ponto B está em baixo e A está em cima.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que

Y B = - 16,5 c m = - 16,5   .   10 - 2 m

Y A = + 16,5 c m = + 16,5   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A e B será

σ N / A = - ( - 143,86   ) .   ( + 16,5   .   10 - 2 ) 9,88   .   10 - 4 = 24025,2 K p a ≅ 24   M p a

σ N / B = - - 143,86 .   - 16,5   .   10 - 2 9,88   .   10 - 4 = - 24025,2 K p a ≅ - 24   M p a

Passo 4

Agora vamos analisar a ação do esforço para o momento fletor na direção Y.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = M y   .     z I y y

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo y, logo,

M y   = - 91,58   K N . m

O sinal de Z é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Z o ponto B está na direita e A está na esquerda.

Como arbitramos que Z é negativo pra direita e positivo pra esquerda, teremos que

Z B = - 16,5 c m = - 16,5   .   10 - 2 m

Z A = + 16,5 c m = + 16,5   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M y   no ponto A e B será

σ N / A = ( - 91,58   ) .   ( + 16,5   .   10 - 2 ) 9,88   .   10 - 4 = - 15294,2 K p a ≅ - 15,3   M p a

σ N / B = - 91,58 .   - 16,5   .   10 - 2 9,88   .   10 - 4 = + 15294,2 K p a ≅ + 15,3   M p a

Passo 5

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total Normal será

σ t o t a l / A = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = 24 - 15,3 = 8,7   M p a

σ t o t a l / B = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = - 24 + 15,3 =   - 8,7   M p a

Resposta

σ t o t a l / A = 8,7   M p a

σ t o t a l / B =   - 8,7   M p a

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