Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 300-4.126.

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no ( a ) ponto A , ( b ) ponto B e ( c ) ponto D .

Passo 1

O que está acontecendo?

O momento M = 250   N * m pode ser decomposto em uma componente horizontal M z e uma componente vertical M y de acordo com o ângulo de 30 ° indicado pelo exercício, como mostra a imagem abaixo:

Daí que, calculando essas componentes, vamos poder descrever as tensões σ nessa seção transversal através da fórmula:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

Sendo que nesse caso, como não temos uma força interna normal N (temos só os momentos M z e M y ), essa fórmula fica assim:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões σ :

( a ) No ponto A , de posição y A = 50   m m e z A = 40   m m ;

( b ) No ponto B , de posição y B = - 50   m m e z B = 40   m m ;

& c No ponto D , de posição y D = - 50   m m e z D = - 40   m m .

Então, para resolver o exercício, temos que:

1. Calcular as componentes M z e M y do momento M = 250   N * m aplicado.

2. Calcular os momentos de inércia da área em relação ao eixo z , I z z , e em relação ao eixo y , I y y .

& 3. Aplicar a fórmula σ = - M z y / I z z + M y z / I y y para os pontos A , B e D .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então primeiro, vamos calcular as componentes de M .

Observando a imagem abaixo:

...conseguimos ver que:

M z = 250   N * m cos ⁡ 30 ° = 250 * 3 2   N * m = 216,51   N * m

E que:

M y = - 250   N * m s e n   30 ° = - 250 * 1 2   N * m = - 125   N * m

Passo 3

Agora, para calcular os momentos de inércia da área I z z e I y y , observamos as dimensões da seção transversal:

Da imagem, temos que a seção tem dimensões de 80   m m   ×   100   m m .

Aqui, a fórmula do momento de inércia da área de um retângulo I = b h 3 / 12 vale tanto para I z z quanto para I y y .

Além disso, nessa fórmula, a base b e a altura h correspondem, respectivamente, à dimensão paralela e à dimensão perpendicular ao eixo em relação ao qual se está calculando o momento de inércia da área.

Dessa forma, o momento de inércia da área em relação ao eixo z vai ser:

I z z = b h 3 12 = 80 100 3 12 = 6,667 * 10 6   m m 4

Enquanto que o momento de inércia da área em relação ao eixo y vai ser:

I y y = b h 3 12 = 100 80 3 12 = 4,267 * 10 6   m m 4

Passo 4

Por fim, podemos calcular a tensão σ em cada ponto:

σ A = - M z y A I z z + M y z A I y y

σ B = - M z y B I z z + M y z B I y y

&

σ D = - M z y D I z z + M y z D I y y

Substituindo, nessas equações:

  • M z = 216,51   N * m = 261,51 * 10 3   N * m m ;
  • M y = - 125   N * m = - 125 * 10 3   N * m m ;
  • I z z = 6,667 * 10 6   m m 4 ;
  • I y y = 4,267 * 10 6   m m 4 ;
  • E as posições de A , B e D apontadas lá no passo 1 , todas em m m ,

Vamos ter que:

σ A = - 216,51 * 10 3 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

σ B = - 216,51 * 10 3 - 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

&

σ D = - 216,51 * 10 3 - 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 - 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

Finalmente, calculando tudo para cada uma dessas tensões e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos as nossas respostas:

Resposta

σ A ≅ - 2,80   M P a

σ B ≅ 0,452   M P a

&

σ D ≅ 2,80   M P a

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