Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

Uma viga de um prédio sofreu um recalque no apoio e a sua seção transversal foi sujeita ao carregamento assimétrico mostrado abaixo. Determine o valor da tensão normal no ponto A da figura.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 2 esforços nessa seção, os dois esforços de flexão, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 2 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

Quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de Y usamos a fórmula

σ N = M y   .     z I y y

Como a nossa seção é retangular, teremos que determinar o momento de inercia para cada direção, então teremos

Para o I z z

I z z = B . H 3 12 = 0,15   .   0,60 3 12 = 2,7   .     10 - 3 m 4

Para o I y y

I y y = 0,60   .   0,15 3 12 = 1,6875   .   10 - 4 m 4

Passo 2

Do jeito que os momentos fletores estão é muito complicado definir as fórmulas e os cálculos que devemos fazer, por isso, antes de qualquer coisa, vamos decompor os nossos momentos fletores, e com essa decomposição vamos poder analisar os nossos esforços.

Vamos decompor cada um dos vetores, começando pelo de 210 K N . m

Fazendo a conta teremos que

M y 210 = S e n   37 °

M z 210 = C o s 37 °

Isolando teremos que

M y = 210   .   S e n 37 ° = 126,4   K N . m

M z = 210   .   C o s 37 ° = 167,7   K N . m

Decompondo agora o momento de 215   K N . m teremos

Fazendo a conta teremos que

M y 215 = S e n   75 °

M z 215 = C o s   75 °

Isolando teremos que

M y = 215   .   S e n   75 ° = 207,7   K N . m

M z = 215   .   C o s   75 ° = 55,6   K N . m

Decompondo agora o momento de 300   K N . m teremos

Fazendo a conta teremos que

M y 300 = C o s   50 °

M z 300 = S e n   50 °

Isolando teremos que

M y = 300   .   C o s   50 ° = 192,8   K N . m

M z = 300   .   S e n   50 ° = 229,8   K N . m

Olhando os vetores decompostos teremos que

Fazendo uma soma vetorial teremos que

M y = 207,7 + 126,4 - 192,8 =   141,3   K N . m

M z = 167,7 - 55,6 - 229,8 =   - 117,7   K N . m

Então teremos

Passo 3

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A .

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = - 117,7     K N . m

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relaç��o a Y o ponto A está em baixo.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que

Y A = - 30 c m = - 30   .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A será

σ N / A = - ( - 117,7   ) .   ( - 30   .   10 - 2 ) 2,7   .     10 - 3 = - 13077,8   K p a ≅ - 13,1   M p a

Passo 4

Agora vamos analisar a ação do esforço para o momento fletor na direção Y.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = M y   .     z I y y

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto A e B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo y, logo,

M y   = + 141,3   K N . m

O sinal de Z é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Z o ponto A está na esquerda.

Como arbitramos que Z é negativo pra direita e positivo pra esquerda, teremos que

Z A = + 7,5   c m = + 7,5     .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto A será

σ N / A = ( + 141,3   ) .   ( + 7,5     .   10 - 2 ) 1,6875   .   10 - 4 = + 62800   K p a ≅ + 62,8   M p a

Passo 5

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total Normal será

σ t o t a l / A = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y = 62,8 - 13,1 = 49,7   M p a

Resposta

σ t o t a l / A = 49,7   M p a

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