Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

Uma força P = 10   k N é aplicada na plataforma da figura abaixo, que é sustentada por uma coluna retangular (em azul na figura) com uma seção transversal de 60   c m   ×   30   c m . A posição da força P em relação ao centro da plataforma e da coluna está indicada na figura.

Determine a tensão normal σ máxima nessa coluna.

Passo 1

O que está acontecendo?

A carga excêntrica P = 10   k N vai gerar, no centro da coluna:

  • Um momento M z em relação ao eixo z ;
  • Um momento M y em relação ao eixo y ;
  • E uma força axial P ,

Como mostra a figura abaixo:

Todos esses três carregamentos vão gerar tensões normais σ nessa coluna:

Primeiro, o momento M z em relação ao eixo z vai gerar uma tensão normal de flexão σ de acordo com a fórmula da flexão de sempre:

σ = - M z y I z z

Onde:

  • M z é o momento em relação ao eixo z , positivo no sentido que está desenhado na figura acima, que já é também o sentido do momento M z gerado pela força P ;
  • y é a posição do ponto em que se quer avaliar a tensão σ em relação à linha neutra, localizada no eixo z ;
  • & I z z é o momento de inércia da área da seção transversal dessa coluna em relação ao eixo z .

Lembrando que I z z pode ser calculado para um retângulo usando a fórmula:

I z z = b h 3 12

Sendo que nesse caso, a base (que é paralela à linha neutra no eixo z ) vai ser b = 60   c m e a altura (perpendicular à linha neutra no eixo z ) vai ser h = 30   c m .

Segundo, o momento M y em relação ao eixo y também vai gerar uma tensão normal de flexão σ .

Pela regra da mão direita, conseguimos ver que esse momento M y é positivo (por estar no sentido do eixo y ):

E pelo desenho dele, vemos que ele gera compressão na parte direita da coluna (com posição z em relação ao eixo y negativa) e tração na esquerda (com posição z em relação ao eixo y positiva):

Então, para descrever a tensão σ devido ao momento M y , queremos uma fórmula:

  • Semelhante à fórmula da flexão que conhecemos σ = - M z y / I z z ;
  • Mas que seja relativa ao momento M y , à posição z em relação à linha neutra no eixo y e ao momento de inércia da área em relação ao eixo y , I y y ;
  • E que, para valores positivos de M y , resulte em valores de σ positivos (de tração) para valores positivos da posição z e valores de σ negativos (de compressão) para valores negativos da posição z .

Dessa forma, a nossa fórmula da flexão para o momento M y fica assim:

σ = M y z I y y

Sendo que I y y pode ser calculado pela fórmula b h 3 / 12 , mas dessa vez com uma base (paralela à linha neutra no eixo y ) b = 30   c m e uma altura (perpendicular à linha neutra no eixo y ) h = 60   c m .

Por último, nós temos que a força axial P de compressão vai gerar na coluna uma força normal interna N = - P .

Sendo que a tensão σ gerada por essa força normal N pode ser descrita pela fórmula:

σ = N A

Onde A é a área da seção transversal da coluna.

O que tudo isso significa é que...

Para saber a tensão normal σ nessa coluna, podemos fazer a superposição de efeitos desses três carregamentos (momento em z , momento em y , e compressão P ) para encontrarmos que:

σ = - M z y I z z + M y z I y y + N A

Sendo que normalmente essa fórmula é escrita reorganizada assim:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a tensão σ máxima nessa coluna.

Daí que observando a fórmula acima para σ , vemos que:

1. O termo N / A vai ter um valor sempre de compressão ( - ), uma vez que N = - P = - 10   k N .

2. O termo - M z y / I z z assume seu valor máximo de compressão ( - ) para y = 15   c m , no “topo da seção”, e seu valor máximo de tração ( + ) para y = - 15   c m , na “base da seção”.

& 3. O termo M y z / I y y assume seu valor máximo de compressão ( - ) para z = - 30   c m , na “direita da seção”, e seu valor máximo de tração ( + ) para z = 30   c m , na “esquerda da seção”.

Dessa forma, a tensão máxima σ nessa coluna vai ser uma tensão de compressão no ponto de sua seção de posição y = 15   c m e z = - 30   c m :

Isso porque esse é o único ponto em que vamos ter a...

  • (1.) Compressão uniforme devido à força normal N
  • Colaborando com a...

  • (2.) Compressão máxima devido à M z
  • Colaborando com a...

  • (3.) Compressão máxima devido à M y .
  • Então, para resolver o exercício, devemos:

  • Calcular os momentos M z e M y e o esforço interno normal N gerados pela nossa carga P excêntrica;
  • Calcular as propriedades geométricas A , I z z e I y y para a seção transversal da nossa coluna;
  • & aplicar a fórmula σ = N / A - M z y / I z z + M y z / I y y para o ponto de compressão máxima na coluna.

Passo 2

Agora que a gente já entendeu e revisou tudo que está rolando no exercício, podemos seguir direto para uma resolução bem rápida dele.

Primeiro, vamos calcular os momentos M z e M y e o esforço interno normal N gerados pela nossa carga P excêntrica.

Observando a nossa plataforma:

Vemos que o momento em relação ao eixo z , M z vai ser gerado com um braço de 3   m e vai ter um valor positivo, por estar no sentido do eixo z de acordo com a regra da mão direita.

Dessa forma, vamos ter que:

M z = P 3   m = 10   k N 3   m = 30   k N * m

E também vemos que o momento M y vai ser gerado com um braço de 1   m e vai ter um valor positivo, por estar no sentido do eixo y de acordo com a regra da mão direita.

Dessa forma, temos que:

M y = P 1   m = 10   k N 1   m = 10   k N * m

Por fim, como a força P é de compressão, ela vai gerar uma força interna normal N :

N = - P = - 10   k N

Passo 3

Em seguida, vamos calcular as propriedades geométricas para seção transversal da coluna, observando as dimensões indicadas pelo exercício:

Quanto à área A , temos:

A = 30   c m 60   c m = 1800   c m 2

Quanto ao momento de inércia da área em relação ao eixo z , I z z , vamos ter uma base (paralela à linha neutra no eixo z ) b = 60   c m e uma altura (perpendicular à linha neutra) h = 30   c m .

Então:

I z z = b h 3 12 = 60 30 3 12 = 135000   c m 4

Já para I y y , o eixo da linha neutra troca e as dimensões também: a base paralela à linha neutra no eixo y vai ser b = 30   c m e a altura perpendicular à linha neutra vai ser h = 60   c m :

I y y = b h 3 12 = 30 60 3 12 = 540000   c m 4

Passo 4

Agora, só falta aplicar a fórmula:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

...para o ponto de compressão máxima para encontrarmos a tensão normal σ máxima nessa coluna.

Aplicando essa fórmula e substituindo nela:

  • N = - 10   k N ;
  • A = 1800   c m 2 ;
  • M z = 30   k N * m = 3000   k N * c m ;
  • y = 15   c m ;
  • I z z = 135000   c m 4 ;
  • M y = 10   k N * m = 1000   k N * c m ;
  • z = - 30   c m ;
  • & I y y = 540000   c m 4 ,

...vamos encontrar a nossa tensão normal σ máxima na coluna:

σ m á x = ( - 10 ) ( 1800 ) - 3000 15 135000 + 1000 - 30 540000   k N / c m 2

Calculando cada termo, temos:

σ m á x ≅ - 0,0056 - 0,3333 - 0,0556   k N / c m 2

E somando tudo, encontramos que:

σ m á x ≅ - 0,395   k N / c m 2

Convertendo esse resultado para N / m m 2 = M P a temos:

σ m á x ≅ - 0,395 1000   N 100   m m 2 = - 3,95   N / m m 2 = - 3,95   M P a

Aí, na hora de fornecer nosso resultado final, o fornecemos como um valor absoluto e indicamos que é uma tensão de compressão:

Resposta

σ m á x = 3,95   M P a   (Compressão)

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