Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

A parte vertical da prensa mostrada na figura consiste em um tubo retangular com espessura de parede t = 10   m m . Sabendo que a prensa foi usada para prender blocos de madeira que estavam sendo colados, com uma força P = 20   k N , determine a tensão no ( a ) ponto A e ( b ) ponto B .

Passo 1

O que está acontecendo?

As cargas P = 20   k N , em relação ao centro da parte vertical da prensa, são excêntricas por uma distância de 240   m m , como mostra a imagem abaixo:

Dessa forma, definindo eixos y e z passando pelo centro da seção transversal a - a dessa parte vertical:

Vemos que a força P excêntrica vai causar nessa seção transversal não só uma força normal N = P como também um momento em relação ao eixo y , M y :

Sendo que esse momento M y é positivo ao longo do eixo y de acordo com a regra da mão direita:

...e pode ser calculado multiplicando a força P pela “excentricidade” ou pelo braço de 240   m m :

M y = P 240   m m = 20   k N 240   m m = 4800   k N * m m = 4800   N * m

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a tensão σ nos pontos A e B dessa seção transversal a - a .

Aí, pelo o que estudamos sobre cargas excêntricas, sabemos que elas geram uma tensão σ de acordo com a fórmula:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

...dados que o eixos y esteja disposto “para cima” e o eixo z esteja disposto “para a esquerda” na seção transversal da peça, que foi como nós fizemos:

Como no nosso caso, não temos nenhum momento M z em relação ao eixo z , a tensão σ nessa seção transversal vai ficar assim na realidade:

σ = N A + M y z I y y

Sendo que da imagem acima, vemos que o ponto A possui uma posição z A = 40   m m e que o ponto B possui uma posição z B = - 40   m m .

Dessa forma, para resolvermos o exercício, temos que:

1. Calcular a área A e o momento de inércia da área em relação ao eixo y , I y y , dessa seção transversal, sabendo que ela possui uma espessura de parede t = 10   m m ;

& 2. Aplicar a fórmula σ = N / A + M y z / I y y para os pontos A e B .

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, observando a geometria da seção, com sua espessura t = 10   m m :

Vemos que ela é um retângulo de 80   m m   ×   60   m m com um furo retangular de 80 - 2 t = 60   m m por 60 - 2 t = 40   m m .

Dessa forma, a sua área A vai ser:

A = A r e t â n g u l o - A f u r o = 80 60 - 60 40 = 2400   m m 2

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o momento de inércia da área em relação ao eixo y , I y y , para essa seção.

Para tanto, vamos observar a sua geometria em relação ao eixo y :

Em relação ao eixo y , vemos que ela tem uma base (paralela ao eixo y ) b = 60   m m e uma altura (perpendicular ao eixo y ) h = 80   m m .

Dessa forma, o momento de inércia da área em relação ao eixo y do retângulo externo dessa seção vai ser:

I y y , r e t â n g u l o = b h 3 12 = 60 80 3 12 = 2,56 * 10 6   m m 4

Mas a seção não tem só esse retângulo externo.

Ela também tem um furo, de base b = 40   m m e altura h = 60   m m (dimensões que vimos no passo anterior), que vai ter um momento de inércia negativo por ser um furo:

I y y , f u r o = - b h 3 12 = - 40 60 3 12 = - 0,72 * 10 6   m m 4

E assim, o momento de inércia da área I y y da seção como um todo vai ser a soma dos valores de I y y para cada elemento:

I y y = I y y , r e t â n g u l o + I y y , f u r o = 2,560 * 10 6 - 0,72 * 10 6   m m 4

O que significa que:

I y y = 1,84 * 10 6   m m 4

Passo 4

Por fim, aplicamos a fórmula σ = N / A + M y z / I y y para os pontos A e B :

σ A = N A + M y z A I y y

&

σ B = N A + M y z B I y y

Substituindo nessas equações:

  • N = P = 20   k N = 20 * 10 3   N ;
  • A = 2400   m m 2 ;
  • M y = 4800   N * m = 4800 * 10 3   N * m m ;
  • z A = + 40   m m & z B = - 40   m m ;
  • & I y y = 1,84 * 10 6   m m 4 ,

Vamos ter que:

σ A = 20 * 10 3 2400 + 4800 * 10 3 + 40   m m 1,84 * 10 6   N / m m 2

&

σ B = 20 * 10 3 2400 + 4800 * 10 3 - 40   m m 1,84 * 10 6   N / m m 2

Calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos os nossos resultados finais:

Resposta

a   σ A ≅ 112,7   M P a

b   σ B ≅ - 96,0   M P a

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