Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Considere o sistema com realimentação unitária da figura abaixo com

G s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, determine a região do plano s onde os polos do

sistema em malha fechada estão localizados.

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema, e para encontrar a equação característica, precisamos da função de transferência em malha fechada para o sistema.

Utilizando álgebra de diagrama de blocos, teremos:

C s R s = G s 1 + G s

Substituindo:

G s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

C s R s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 ) 1 + 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

Manipulando a expressão encontrada:

C s R s = 1 4 s 2 s 2 + 1 + 1 = 1 4 s 4 + 4 s 2 + 1

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

4 s 4 + 4 s 2 + 1 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara já encontramos uma linha de zeros na segunda linha. Precisaremos então usar o nosso polinômio auxiliar para encontrar novos valores para a nossa linha.

Nesse caso, o polinômio auxiliar terá o mesmo grau da primeira linha, ou sea, quatro, e coincidentemente será igual à nossa equação característica:

P s = 4 s 4 + 4 s 2 + 1

Derivando o polinômio auxiliar:

P ' s = 16 3 + 8 s

Com os coeficientes desse novo polinômio, podemos substituir a linha de zeros que tínhamos encontrado antes:

Passo 3

Para a terceira linha teremos:

b 1 = 16 4 - 4 8 16 = 2

b 2 = 16 1 - 4 0 16 = 1

b 3 = 0

E a quarta linha:

c 1 = 2 8 - 16 1 2 = 0

c 2 = 2 0 - 16 0 2 = 0

Passo 4

Inferno! Mais uma vez uma linha de zeros, vamos lá novamente, polinômio auxiliar:

P s = 2 s 2 + 1

Derivando o polinômio auxiliar:

P ' s = 4 s

Substituindo a linha de zeros:

Terminando de preencher o diagrama teremos:

Passo 5

Falta agora responder onde estão os polos desse sistema em malha fechada.

Bom, uma coisa que podemos reparar logo de cara é que nosso primeiro polinômio auxiliar teve grau quatro, o que significa que existem 4 polos simétricos no nosso sistema, como 4 também é o grau da equação característica, podemos dizer que todos os polos do sistema em malha fechada são simétricos.

Além disso, não tivemos nenhuma mudança de sinal, o que indica que não temos nenhum polo no semiplano direito. Sendo assim, como todos os polos são simétricos e não temos nenhum polo no lado direito, podemos concluir que todos os polos do sistema estão sobre o eixo i ω .

Resposta

Todos os quatro polos estão sobre o eixo i ω .