Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Determine quantas raízes no semiplano direito possui o polinômio abaixo:

P s = 3 s 3 + 2 s + 1

Passo 1

Para saber quantas raízes do polinômio serão poxitivas (semiplano direito) podemos usar o critério de Roth-Hurwitz. A quantidade de troca de sinais que ocorrerem na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara vemos que algo de errado não está certo. Esse zero na primeira coluna vai complicar a nossa vida, para lidar com ele a gente substitui o zero por épsilon, e segue a partir daí:

Passo 3

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

b 1 = ϵ 2 - 3 1 ϵ = 2 ϵ - 3 ϵ

b 2 = 0

Colocando a nova linha no diagrama:

E prosseguindo a montagem:

Passo 4

Vamos fazer a análise do nosso diagrama agora. Para isso precisamos imaginar que épsilon é um número muito pequeno, positivo ou negativo, e ver o que acontece com os sinais dos números da primeira coluna.

Se épsilon for um número positivo muito pequeno, nós teremos que o número na primeira coluna da segunda linha será positivo, e da terceira linha será negativo. Sendo assim, ocorrerão duas trocas de sinais, da segunda para a terceira linha e da terceira para a quarta.

Agora se épsilon for um número pequeno negativo, nós teremos o número da primeira coluna na segunda linha negativo e na terceira linha positivo. Portanto, acontecerão também duas trocas de sinais: da primeira para a segunda linha e da segunda para a terceira.

Então chegamos à conclusão que existem duas raízes positivas do polinômia porque temos duas trocas de sinais na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz.

Resposta

Duas raízes no semiplano direito