Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

A função de transferência em malha fechada de um sistema é

T s = s 3 + 2 s 2 + 7 s + 21 s 5 - 2 s 4 + 3 s 3 - 6 s 2 + 2 s - 4

Determine quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da

esquerda e sobre o eixo i ω .

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 5 - 2 s 4 + 3 s 3 - 6 s 2 + 2 s - 4 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = - 2 3 - 1 - 64 - 2 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = - 2 2 - 1 - 4 - 2 = 0

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Vixi, demos de cara com uma linha de zeros. Para resolver isso, devemos utilizar o polinômio auxiliar, que é sempre retirado da linha anterior. Como a linha anterior é a segunda linha do diagrama e a equação característica do sistema tem ordem cinco, o polinômio auxiliar terá ordem quatro. Sendo assim ele será:

P s = - 2 s 4 - 6 s 2 - 4

Lembra sempre que o polinômio auxiliar sempre pula um termo. Então se ele tem ordem quatro, ele não vai apresentar os termos de ordem ímpar.

Agpra precisamos derivar o nosso polinômio auxiliar:

P ' s = - 8 s 3 - 12 s

Os coeficientes desse novo polinômio serão os números que colocaremos no lugar da linha de zeros.

Passo 4

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí.

Vamos analisar o diagrama que obtivemos agora.

Existe uma troca de sinais entre a primeira e a segunda linha, o que indica a presença de um polo no semiplano direito.

Tivemos uma linha de zeros, e o nosso polinômio auxiliar foi:

P s = - 2 s 4 - 6 s 2 - 4

Como o polinômio auxiliar foi de ordem 4, isso indica que temos 4 polos em simetria com relação à origem.

Entretanto, após a aparição da linha de zeros, não tivemos nenhuma troca de sinal, o que indica que nenhum dos polos em simetria está no semiplano direito, portanto, a única forma desses polos serem simétricos em relação à origem é estando os quatro sobre o eixo i ω .

Portanto temos um polo no semiplano direito e quatro polos sobre o eixo i ω .

Resposta

Um polo no semiplano direito e quatro polos sobre o eixo i ω .