Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Dado o sistema em malha fechada

G s = 1 s 5 + 2 s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 11 s + 10

Determine a estabilidade deste sistema pelo método de Routh-Hurwitz.

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 5 + 2 s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 11 s + 10 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = 2 2 - 1 4 2 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = 2 11 - 1 10 2 = 6

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Opa! Caímos naquele caso onde temos um zero na primeira coluna. Não é legal quando acontece isso porque se não fizermos nada na próxima linha teremos uma divisão por zero que vai travar todo o nosso diagrama, sendo assim, uma solução rápida para driblar esse problema é substituir o zero por épsilon.

Passo 4

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí. Sempre que épsilon aparecer, a gente deixa o valor em função de épsilon.

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se épsilon for muito pequeno e positivo, o valor da primeira coluna na terceira linha será positivo, na quarta linha, porém, será negativo, e na quinta linha ele volta a ser positivo, tendo portanto duas trocas de sinais.

Se ele for negativo, o valor da terceira linha será negativo, e os valores da quarta e da quinta linha serão positivos. Teremos novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e existem duas raízes da equação característica no semiplano direito.

Resposta

Sistema instável