Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

A função de transferência em malha fechada de um sistema é

T s = s 2 + 4 s - 3 s 4 + 4 s 3 + + 8 s 2 + 20 s - 15

Determine quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da

esquerda e sobre o eixo i ω .

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 4 + 4 s 3 + + 8 s 2 + 20 s - 15 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 3 a 2 - a 4 a 1 a 3 = 4 8 - 1 20 4 = 3

b 2 = a 3 a 0 - a 4 a - 1 a 3 = 4 15 - 1 0 4 = 15

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Passo 4

Prosseguindo para a quarta linha:

c 1 = 3 20 - 4 15 3 = 0

c 2 = 3 0 - 4 0 3 = 0

Colocando no diagrama:

Bom, caímos numa linha de zeros. Sendo assim, precisamos do nosso polinômio auxiliar que pegaremos da linha de cima. A linha de cima é a terceira linha, como a primeira tem ordem quatro, a segunda terá ordem três e a terceira, ordem dois. Portanto o nosso polinômio auxiliar será:

P s = 3 s 2 + 15

Agora devemos derivar o polinômio para obter os valores que colocaremos no diagrama:

P ' s = 6 s

Colocando no diagrama:

Passo 5

Prosseguinto o restante da montagem do diagrama agora:

Não temos nenhuma troca de sinais na primeira coluna, o que indica que não existem raízes no semiplano direito.

Além disso, o nosso polinômio auxiliar apresentou ordem 2, o que significa que existem duas raízes simétrica em relação à origem. Como essas raízes não estão no semiplano direito, a única forma de elas serem simétricas é estando sobre o eixo i ω .

Portanto, temos duas raízes no semiplano esquerdo e duas raízes sobre o eixo i ω .

Resposta

Duas raízes no semiplano esquerdo e duas raízes sobre o eixo i ω .