Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Quantos polos estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo i ω para o sistema em malha fechada abaixo:

G s = - 6 s 6 + s 5 - 6 s 4 + s 2 + s - 6

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema. A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Como a função de transferência já foi dada, a nossa equação característica será:

s 6 + s 5 - 6 s 4 + s 2 + s - 6 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Para a terceira linha teremos:

b 1 = 1 - 6 - 1 0 1 = - 6

b 2 = 1 1 - 1 1 1 = 0

b 3 = 1 - 6 - 1 0 1 = - 6

Adicionando a nova linha:

E a quarta linha:

c 1 = - 6 0 - 1 0 ( - 6 ) = 0

c 2 = - 6 1 - 1 - 6 ( - 6 ) = 0

c 3 = 0

Colocando a quarta linha:

Passo 4

Caímos no caso da linha só de zeros. Vamos então determinar nosso polinômio auxiliar a partir da linha anterior:

P s = - 6 s 4 - 6

Derivando o polinômio:

P ' s = - 24 s 3

Podemos agora substituir o coeficientes obtidos no lugar da linha de zeros:

Passo 5

Vamos para a quinta linha agora:

d 1 = - 24 0 - - 6 0 - 24 = 0

d 2 = - 24 - 6 - - 6 0 - 24 = - 6

d 3 = 0

Putz, agora ainda fomos abençoados com um zero na primeira coluna. Vamos ter que usar o método do épsilon:

Famos finalizar agora calculando tudo em função de épsilon:

Passo 6

Vamos fazer a nossa análise então. Primeiramente, vamos ver quantas mudanças de sinal existem na primeira coluna. Se épsilon for positivo teremos uma mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quarta para quinta e da quinta para sexta. Três mudanças de sinais.

Se épsilon for negativo, teremos mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quinta para a sexta e da sexta para a sétima. Novamente três mudanças de sinal.

Sendo assim, temos três polos no lado direito. Mas e os outros três polos, estão do lado esquerdo ou sobre o eixo i ω ?

O nosso polinômio auxilizar apareceu na linha quatro e tinha grau quatro também. Sendo assim temos quatro polos simétricos e dois assimétricos. Uma mudança de sinal aconteceu antes da linha de zero aparecer, portanto entre os assimétricos um polo está no lado esquerdo e um no lado direito.

Após a linha de zeros, tivemos duas mudanças de sinais, o que indica que dois dos polos simétricos estão do lado direito, sendo assim, para que esses polos tenham simetria em relação à origem, é preciso que os outros polos apareçam do lado esquerdo. Sendo assim, não temos nenhum polo sobre o eixo i ω .

Resposta

Três polos do lado direito e três polos do lado esquerdo.